वाढदिवस समस्या

वाढदिवस समस्येमधील समूह आकार व संभाव्यता यांचा आलेख.

संभाव्यता शास्त्रामधील, वाढदिवस समस्या किंवा वाढदिवस विरोधाभास हा एक सहजपणे पडताळून पाहता येणारा विरोधाभास आहे.  अहेतुकपणे (यादृच्छिकतेने) निवडलेल्या n व्यक्तींच्या समूहात समान वाढदिवस असणाऱ्या दोन व्यक्ती असण्याची संभाव्यता किती आहे याचे गणित म्हणजे वाढदिवस समस्या होय. या गणितात सोयीसाठी प्रत्येक दिवशी जन्माची (वाढदिवस असण्याची) संभाव्यता समान मानली जाते. वाढदिवसासाठी ३६६ दिवस (२९ फेब्रुवारीसह) उपलब्ध आहेत. म्हणजेच समान वाढदिवस असणाऱ्या दोन व्यक्ती असण्याची शक्यता १००% करायची असल्यास आपल्याला ३६७ लोकांचा समूह घ्यावा लागेल. परंतु, असे असले तरी साधारणत: ७० लोकांच्या समूहातच समान वाढदिवस असणाऱ्या दोन व्यक्ती असण्याची शक्यता ९९.९% पर्यंत पोचते. फक्त २३ लोकांच्या गटातदेखील समान वाढदिवस असणाऱ्या दोन व्यक्ती मिळण्याची शक्यता ५०% आहे. सशर्त संभाव्यतेचा वापर करून हे आकडे सहजपणे मिळतात. यात तार्किक विसंगती नसल्यामुळे रूढार्थाने हा विरोधाभास नाही. परंतु, फक्त २३ लोकांमध्ये देखील समान वाढदिवस असण्याची शक्यता ५०% मिळणे हे सहजगत्या पचनी पडणे अवघड असल्यामुळे त्यास विरोधाभास म्हणले जाते.

संगणक विज्ञानात गुप्तलेखन पद्धतीने पाठविले जाणाऱ्या संदेशांमध्ये विपरीत बदल घडवून आणण्याच्या पद्धतींमध्ये या समस्येचा वापर होतो.

संभाव्यता काढणे

एक साधे उदाहरण म्हणून आपण ३६५ दिवसांचे वर्ष व दर दिवशी वाढदिवस असण्याची संभाव्यता समान मानून २३ लोकांच्या समूहात दोन व्यक्तींचा वाढदिवस समान असण्याची संभाव्यता काढून बघू. आपल्याला २३ व्यक्तींच्या समूहात किमान दोन व्यक्तींचा वाढदिवस समान असण्याची शक्यता काढायची आहे. समजा A असे या घटनेला नाव देऊ आणि A^c म्हणजे ही घटना न घडणे असे मानू. संभाव्यतेच्या नियमानुसार, A किंवा A^c या दोन घटनांपैकी एक आणि एकच घटना एका वेळी होत असल्यामुळे A व A^c यांच्या संभाव्यतेची बेरीज १ (१००%) होते. आपल्या समस्येचा विचार केला तर A^c म्हणजे सर्वच्या सर्व २३ व्यक्तींचे वाढदिवस वेगवेगळे असणे होय. त्यामुळे A^c या घटनेची संभाव्यता काढणे अधिक सोपे आहे. पहिल्या व्यक्तीचा वाढदिवस ३६५ पैकी कोणताही असू शकतो. दुसऱ्या व्यक्तीचा वाढदिवस हा वेगळ्या दिवशी हवा असल्यामुळे त्यासाठी ३६४ पर्याय उपलब्ध आहेत. तिसऱ्या व्यक्तीचा वाढदिवस हा पहिल्या दोन्ही व्यक्तींपेक्षा वेगळा हवा असल्यामुळे त्यासाठी ३६३ पर्याय उपलब्ध होतात. अशाप्रकारे, दर व्यक्तीसाठी एक-एक पर्याय कमी होत जात २३व्या व्यक्तीसाठी ३४३ पर्याय उपलब्ध राहतात. यावरून संभाव्यता काढल्यास A^cची संभाव्यता ०.४९२७०३ इतकी मिळते. त्यामुळे Aची संभाव्यता ही ०.५०७३९७ इतकी मिळते. अशाच रीतीने कोणत्याही आकाराच्या समूहासाठी संभाव्यता काढता येते. पुढील तक्त्यात वेगवेगळ्या आकारांच्या समूहांसाठी दोन व्यक्तींचा वाढदिवस समान असण्याची शक्यता दिली आहे.

समूह आकार	दोन व्यक्तींचा वाढदिवस समान असण्याची शक्यता
1	0.0%
5	2.7%
10	11.7%
20	41.1%
23	50.7%
30	70.6%
40	89.1%
50	97.0%
60	99.4%
70	99.9%
100	99.99997%
200	99.9999999999999999999999999998%
300	(100 − (6×10−80))%
350	(100 − (3×10−129))%
365	(100 − (1.45×10−155))%
366	100%
367	100%