द्विगोलीय निर्देशक

द्विगोलीय निर्देशकांचे चित्र

द्विगोलीय निर्देशके हे त्रिमितीय लंबकोनी निर्देशक पद्धती असून ते ज्या दोन नाभ्या जोडल्या जातात त्याच्या अक्षाभोवती द्विमितीय द्विध्रुवीय निर्देशक पद्धतींच्या परिवलनाने बनते. म्हणूनच द्विध्रुवीय निर्देशकांतील दोन नाभ्या ह्या द्विगोलीय निर्देशक पद्धतीत सुद्धा ($z$-अक्षाकडे - परिवलन अक्षाकडे) निर्देशक करते.

व्याख्या

द्विगोलीय निर्देशकांची $(\sigma ,\tau ,\phi )$ सर्वसामान्य व्याख्या म्हणजे,

$x=a\ {\frac {\sin \sigma }{\cosh \tau -\cos \sigma }}\cos \phi$

$y=a\ {\frac {\sin \sigma }{\cosh \tau -\cos \sigma }}\sin \phi$

$z=a\ {\frac {\sinh \tau }{\cosh \tau -\cos \sigma }}$

आणि बिंदू $P$चा $\sigma$ निर्देशक $F_{1}PF_{2}$च्या एवढे असते आणि $\tau$ निर्देशक $d_{1}$ आणि $d_{2}$ ह्या नाभ्यांच्या गुणोत्तराच्या नैसर्गिक शब्दांका एवढे असते.

$\tau =\ln {\frac {d_{1}}{d_{2}}}$

निर्देशक पृष्ठे

$\sigma$ स्थिरांकाची पॄष्ठे छेदणाऱ्या विविध त्रिज्येच्या वृत्तवलयासंबंधीत असते.

$z^{2}+\left({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}-a\cot \sigma \right)^{2}={\frac {a^{2}}{\sin ^{2}\sigma }}$

हे सगळे नाभीतून पार होतात, परंतु ते समकेंद्री नाहीत. $\tau$ स्थिरांकाची पृष्ठे न छेदणाऱ्या विविध त्रिज्येच्या गोलासंबंधीत असते.

$\left(x^{2}+y^{2}\right)+\left(z-a\coth \tau \right)^{2}={\frac {a^{2}}{\sinh ^{2}\tau }}$

हे नाभींच्या भोवती असते. $\tau$ स्थिरांकाच्या केंद्री $z$-अक्षाच्या बाजूस अनेक गोल असतात, तर $\sigma$ह्या स्थिरांकाची वृत्तवलये $xy$ प्रतलाच्या केंद्रभागी असते.

मापक घटक

द्विगोलीय निर्देशक $\sigma$ आणि $\tau$ ह्याची मापक घटके पुढीलप्रमाणे असतात:-

$h_{\sigma }=h_{\tau }={\frac {a}{\cosh \tau -\cos \sigma }}$

आणि दिगंशीय मापक घटक पुढीलप्रमाणे असते:-

$h_{\phi }={\frac {a\sin \sigma }{\cosh \tau -\cos \sigma }}$

म्हणूनच, अतिसूक्ष्म घनफळ पुढीलप्रमाणे असते:-

$dV={\frac {a^{3}\sin \sigma }{\left(\cosh \tau -\cos \sigma \right)^{3}}}\,d\sigma \,d\tau \,d\phi$

आणि लॅप्लेसियन पुढीलप्रमाणे दाखविले जाते:-

${\begin{aligned}\nabla ^{2}\Phi ={\frac {\left(\cosh \tau -\cos \sigma \right)^{3}}{a^{2}\sin \sigma }}&\left[{\frac {\partial }{\partial \sigma }}\left({\frac {\sin \sigma }{\cosh \tau -\cos \sigma }}{\frac {\partial \Phi }{\partial \sigma }}\right)\right.\\[8pt]&{}\quad +\left.\sin \sigma {\frac {\partial }{\partial \tau }}\left({\frac {1}{\cosh \tau -\cos \sigma }}{\frac {\partial \Phi }{\partial \tau }}\right)+{\frac {1}{\sin \sigma \left(\cosh \tau -\cos \sigma \right)}}{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \phi ^{2}}}\right]\end{aligned}}$

$\nabla \cdot \mathbf {F}$ आणि $\nabla \times \mathbf {F}$ सारखे भैदन क्रियक हे लंबकोनी निर्देशकांतील मापक घटकाचे सूत्र वापरून $(\sigma ,\tau )$ ह्या निर्देशकांत मांडता येतात.

उपयोग

द्विगोलीय निर्देशकांचा पारंपारिक वापर म्हणजे अर्धभैदिक समीकरणे सोडविणे होय. उदा. लॅप्लेसचे समीकरण. द्विगोलीय निर्देशके हे समीकरण चलांच्या विलगीकरणात उपयोगी पडते. तथापि, हेल्महोल्ट्स समीकरण द्विगोलीय निर्देशकांत विलग होऊ शकत नाहीत. ह्याच चपखल उदाहरण म्हणून भिन्न त्रिओज्येचे दोन विद्युत प्रवाहित गोलांभोवतालच्या विद्युत क्षेत्रांचे देता येईल.

संदर्भग्रंथ

• Morse PM, Feshbach H (1953). Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill. pp. 665–666.
• Korn GA, Korn TM (1961). Mathematical Handbook for Scientists and Engineers. New York: McGraw-Hill. p. 182. साचा:LCCN.
• Zwillinger D (1992). Handbook of Integration. Boston, MA: Jones and Bartlett. p. 113. ISBN 0-86720-293-9.
• Moon PH, Spencer DE (1988). "Bispherical Coordinates (η, θ, ψ)". Field Theory Handbook, Including Coordinate Systems, Differential Equations, and Their Solutions (corrected 2nd ed., 3rd print ed. ed.). New York: Springer Verlag. pp. 110–112 (Section IV, E4Rx). ISBN 0-387-02732-7.CS1 maint: extra text (link)

बह्य दुवे

• मॅथवर्ल्डवरील द्विगोलीय निर्देशकांवरील माहिती