या लेखातील मजकूर मराठी विकिपीडियाच्या विश्वकोशीय लेखनशैलीस अनुसरून नाही. आपण हा लेख तपासून याच्या पुनर्लेखनास मदत करू शकता.
नवीन सदस्यांना मार्गदर्शन हा साचा
अशुद्धलेखन , अविश्वकोशीय मजकूर अथवा मजकुरात अविश्वकोशीय लेखनशैली व विना-संदर्भ लेखन आढळल्यास वापरला जातो.
गॅमा फल (Gamma function) Γ(z ) ने दर्शवतात. गॅमा फलाचे उत्तर हे क्रमगुणित मूल्यांमध्ये येते फक्त गॅमा फलातील चलाची किंमत ही १ ने बदलल्यास म्हणजे Γ(2 ) = 1!,Γ(3 ) = 2!, नॉन-पॉझिटिव्ह पूर्णांक वगळता सर्व संमिश्र संख्यां साठी ते परिभाषित केले जाते, आणि जर वास्तविक भाग हा धन असेल तर,
Γ
(
z
)
=
∫
0
∞
t
z
−
1
e
−
t
d
t
.
{\displaystyle \Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}\,dt.}
पूर्णांक संख्या n साठी क्रमगुणित आणि गॅमा फल यांमधील संबंध हा n ! = Γ(n + 1)
Γ(z) परिभाषित आणि विश्लेषणात्मक क्षेत्र Re(z)>0.
Γ(n+1)=n! , n≥0 पूर्णांक साठी.
Γ(z+1)=zΓ(z) (कार्य समीकरण)
Γ
(
1
−
z
)
Γ
(
z
)
=
π
sin
π
z
,
z
∉
Z
{\displaystyle \Gamma (1-z)\Gamma (z)={\frac {\pi }{\sin \pi z}},\qquad z\not \in \mathbb {Z} }
जे सूचित करते,
Γ
(
z
−
n
)
=
(
−
1
)
n
−
1
Γ
(
−
z
)
Γ
(
1
+
z
)
Γ
(
n
+
1
−
z
)
,
n
∈
Z
{\displaystyle \Gamma (z-n)=(-1)^{n-1}\;{\frac {\Gamma (-z)\Gamma (1+z)}{\Gamma (n+1-z)}},\qquad n\in \mathbb {Z} }
लेजेंडर डुप्लिकेशन सूत्र,
Γ
(
z
)
Γ
(
z
+
1
2
)
=
2
1
−
2
z
π
Γ
(
2
z
)
.
{\displaystyle \Gamma (z)\Gamma \left(z+{\tfrac {1}{2}}\right)=2^{1-2z}\;{\sqrt {\pi }}\;\Gamma (2z).}
ऑयलरचे गॅमा फलाचे मूळचे सूत्र
Γ
(
z
)
=
lim
n
→
∞
n
z
n
!
∏
k
=
0
n
(
z
+
k
)
.
{\displaystyle \Gamma (z)=\lim _{n\to \infty }{\frac {n^{z}n!}{\displaystyle \prod _{k=0}^{n}(z+k)}}.}
[ संपादन ] पाय फलाची व्याख्या (pi function)
Π
(
z
)
=
∫
0
∞
t
z
e
−
t
d
t
.
{\displaystyle \Pi (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z}e^{-t}\,dt.}
Π(z ) = Γ(z + 1) .
अशाप्रकारे प्रत्येक गैर-ऋण पूर्णांक संख्या n साठी, Π(n ) = n ! .
फॅक्टोरियल फंक्शन (क्रमगुणित फल), ऋण पूर्णांक वगळता सर्व वास्तविक संख्यांसाठी सामान्यीकृत. उदाहरणार्थ, 0! = 1! = 1 , (−1/2)! = √π , 1/2! = √π /2 . या व्यतिरिक्त , पाय फल हे क्रमगुणिताप्रमाणे परिभाषित केलेल्या प्रत्येक z (परिभाषित केलेली संमिश्र संख्यां ) ला पुनरावृत्ती दर्शविते.
Π
(
z
)
=
z
Π
(
z
−
1
)
.
{\displaystyle \Pi (z)=z\Pi (z-1)\,.}
Γ
(
n
+
1
)
=
n
Γ
(
n
)
.
{\displaystyle \Gamma (n+1)=n\Gamma (n)\,.}
Γ
(
1
2
)
=
(
−
1
2
)
!
=
Π
(
−
1
2
)
=
π
,
{\displaystyle \Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)=\left(-{\frac {1}{2}}\right)!=\Pi \left(-{\frac {1}{2}}\right)={\sqrt {\pi }}\,,}
n ∈ N
Γ
(
1
2
+
n
)
=
(
−
1
2
+
n
)
!
=
Π
(
−
1
2
+
n
)
=
π
∏
k
=
1
n
2
k
−
1
2
=
(
2
n
)
!
4
n
n
!
π
=
(
2
n
−
1
)
!
2
2
n
−
1
(
n
−
1
)
!
π
.
{\displaystyle {\begin{aligned}&\Gamma \left({\frac {1}{2}}+n\right)=\left(-{\frac {1}{2}}+n\right)!=\Pi \left(-{\frac {1}{2}}+n\right)\\[5pt]={}&{\sqrt {\pi }}\prod _{k=1}^{n}{\frac {2k-1}{2}}={\frac {(2n)!}{4^{n}n!}}{\sqrt {\pi }}={\frac {(2n-1)!}{2^{2n-1}(n-1)!}}{\sqrt {\pi }}\,.\end{aligned}}}
Γ
(
9
2
)
=
7
2
!
=
Π
(
7
2
)
=
1
2
⋅
3
2
⋅
5
2
⋅
7
2
π
=
8
!
4
4
4
!
π
=
7
!
2
7
3
!
π
=
105
16
π
≈
11.631
728
…
{\displaystyle \Gamma \left({\frac {9}{2}}\right)={\frac {7}{2}}!=\Pi \left({\frac {7}{2}}\right)={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {3}{2}}\cdot {\frac {5}{2}}\cdot {\frac {7}{2}}{\sqrt {\pi }}={\frac {8!}{4^{4}4!}}{\sqrt {\pi }}={\frac {7!}{2^{7}3!}}{\sqrt {\pi }}={\frac {105}{16}}{\sqrt {\pi }}\approx 11.631\,728\ldots }
सर्व n ∈ N
Γ
(
1
2
−
n
)
=
(
−
1
2
−
n
)
!
=
Π
(
−
1
2
−
n
)
=
π
∏
k
=
1
n
2
1
−
2
k
=
(
−
4
)
n
n
!
(
2
n
)
!
π
.
{\displaystyle \Gamma \left({\frac {1}{2}}-n\right)=\left(-{\frac {1}{2}}-n\right)!=\Pi \left(-{\frac {1}{2}}-n\right)={\sqrt {\pi }}\prod _{k=1}^{n}{\frac {2}{1-2k}}={\frac {\left(-4\right)^{n}n!}{(2n)!}}{\sqrt {\pi }}\,.}
Γ
(
−
5
2
)
=
(
−
7
2
)
!
=
Π
(
−
7
2
)
=
2
−
1
⋅
2
−
3
⋅
2
−
5
π
=
(
−
4
)
3
3
!
6
!
π
=
−
8
15
π
≈
−
0.945
308
…
{\displaystyle \Gamma \left(-{\frac {5}{2}}\right)=\left(-{\frac {7}{2}}\right)!=\Pi \left(-{\frac {7}{2}}\right)={\frac {2}{-1}}\cdot {\frac {2}{-3}}\cdot {\frac {2}{-5}}{\sqrt {\pi }}={\frac {\left(-4\right)^{3}3!}{6!}}{\sqrt {\pi }}=-{\frac {8}{15}}{\sqrt {\pi }}\approx -0.945\,308\ldots }
गॅमा फलाच्या काही विशिष्ट किंमती ..
Γ
(
−
3
2
)
=
4
π
3
≈
+
2.36327
18012
07354
70306
Γ
(
−
1
2
)
=
−
2
π
≈
−
3.54490
77018
11032
05459
Γ
(
1
2
)
=
π
≈
+
1.77245
38509
05516
02729
Γ
(
1
)
=
0
!
=
+
1
Γ
(
3
2
)
=
π
2
≈
+
0.88622
69254
52758
01364
Γ
(
2
)
=
1
!
=
+
1
Γ
(
5
2
)
=
3
π
4
≈
+
1.32934
03881
79137
02047
Γ
(
3
)
=
2
!
=
+
2
Γ
(
7
2
)
=
15
π
8
≈
+
3.32335
09704
47842
55118
Γ
(
4
)
=
3
!
=
+
6
{\displaystyle {\begin{array}{rcccl}\Gamma \left(-{\tfrac {3}{2}}\right)&=&{\tfrac {4{\sqrt {\pi }}}{3}}&\approx &+2.36327\,18012\,07354\,70306\\\Gamma \left(-{\tfrac {1}{2}}\right)&=&-2{\sqrt {\pi }}&\approx &-3.54490\,77018\,11032\,05459\\\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}\right)&=&{\sqrt {\pi }}&\approx &+1.77245\,38509\,05516\,02729\\\Gamma (1)&=&0!&=&+1\\\Gamma \left({\tfrac {3}{2}}\right)&=&{\tfrac {\sqrt {\pi }}{2}}&\approx &+0.88622\,69254\,52758\,01364\\\Gamma (2)&=&1!&=&+1\\\Gamma \left({\tfrac {5}{2}}\right)&=&{\tfrac {3{\sqrt {\pi }}}{4}}&\approx &+1.32934\,03881\,79137\,02047\\\Gamma (3)&=&2!&=&+2\\\Gamma \left({\tfrac {7}{2}}\right)&=&{\tfrac {15{\sqrt {\pi }}}{8}}&\approx &+3.32335\,09704\,47842\,55118\\\Gamma (4)&=&3!&=&+6\end{array}}}
गुणाकार व्यस्त गॅमा फलः
1
Γ
(
−
3
)
=
1
Γ
(
−
2
)
=
1
Γ
(
−
1
)
=
1
Γ
(
0
)
=
0.
{\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (-3)}}={\frac {1}{\Gamma (-2)}}={\frac {1}{\Gamma (-1)}}={\frac {1}{\Gamma (0)}}=0.}
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\Gamma \left({\frac {1}{2}}+n\right)=\left(-{\frac {1}{2}}+n\right)!=\Pi \left(-{\frac {1}{2}}+n\right)\\[5pt]={}&{\sqrt {\pi }}\prod _{k=1}^{n}{\frac {2k-1}{2}}={\frac {(2n)!}{4^{n}n!}}{\sqrt {\pi }}={\frac {(2n-1)!}{2^{2n-1}(n-1)!}}{\sqrt {\pi }}\,.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/073bf6ce7a3fbee30bd905a7c75e13b7ce9a80df)
