क्रमगुणित

काही निवडक संख्यांचे क्रमगुणीत; काही संख्या अचूकपणे प्रदर्शित करण्यासाठी घातांकाच्या रूपात लिहिल्या आहेत.
n	n!
०	१
१	१
२	२
३	३
४	२४
५	१२०
६	७२०
७	५,०४०
८	४०,३२०
९	३,६२,८८०
१०	३६,२८,८००
११	३,९९,१६,८००
१२	४७,९०,०१,६००
१३	६,२२,७०,२०,८००
१४	८७,१७,८२,९१,२००
१५	१३,०७,६७,४३,६८,०००
१६	२,०९,२२,७८,९८,८८,०००
१७	३५,५६,८७,४२,८०,९६,०००
१८	६,४०,२३,७३,७०,५७,२८,०००.
१९	१,२१,६४,५१,००,४०,८८,३२,०००.
२०	२४,३२,९०,२०,०८,१७,६६,४०,०००.
२५	१.५५११२१००४×10^२५
५०	३.०४१४०९३२०×10^६४
७०	१.१९७८५७१६७×10^१००
१००	९.३३२६२१५४४×10^१५७
४५०	१.७३३३६८७३३×10^{१,०००}
१,०००	४.०२३८७२६०१×10^{२,५६७}
३,२४९	६.४१२३३७६८८×10^{१०,०००}
१०,०००	२.८४६२५९६८१×10^{३५,६५९}
२५,२०६	१.२०५७०३४३८×10^{१,००,०००}
१,००,०००	२.८२४२२९४०८×10^{४,५६,५७३}
२,०५,०२३	२.५०३८९८९३२×10^{१०,००,००४}
१०,००,०००	८.२६३९३१६८८×10^{५५,६५,७०८}

गणितामध्ये कोणत्याही ऋण नसलेल्या पूर्णांकाचा nचा क्रमगुणित (factorial- फॅक्टोरियल) हा n! ने दर्शवतात.
क्रमगुणित म्हणजे ती संख्या व तिच्यापेक्षा लहान धन पूर्णांकाचा गुणाकार होय.

 n! = n . (n-१) . (n-२) . (n-३) . (n-४) ..... ४ . ३ . २ . १

उदाहरणार्थ,

 ५! = ५ . ४ . ३ . २ . १ = १२०

याचा उपयोग बीजगणित, मांडणी व जुळवणी मध्ये केला जातो.

०!चे मूल्य! १ आहे. कारण,

 ⇒n!=n×(n−१)!
 समजा nची किंमत १ धरल्यास,
 ⇒१!=१!×(१−१)!
 ⇒१!=१!×(०)!

डावी बाजू = उजवी बाजू असले पाहिजे, हा नियम पूर्ण होण्यासाठी, ०! = १ असणे हे गरजेचे आहे.

गॅमा व पाय फल (फलन)

मुख्य पान: गॅमा फल

गैर-ऋण (ऋण नसलेला) पूर्णांकाशिवाय अपूर्णांकांचा सुद्धा क्रमगुणित काढला जाऊ शकतो, परंतु यासाठी गणितीय विश्लेषणातील अधिक प्रगत साधने (क्रिया) आवश्यक आहेत.

गॅमा फल हे फॅक्टोरियलचे विस्तारित रूप आहे. आणि हे $Γ(z)$ ने दर्शवतात. गॅमा फलाचे उत्तर हे क्रमगुणित मूल्यांमध्ये येते फक्त गॅमा फलातील चलाची किंमत ही १ ने बदलल्यास म्हणजे $Γ(2)$ = 1!, $Γ(3)$ = 2!, नॉन-पॉझिटिव्ह पूर्णांक वगळता सर्व संमिश्र संख्यांसाठी ते परिभाषित केले जाते, आणि जर वास्तविक भाग हा धन असेल तर, $\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}\,dt.$ प्रत्येक गैर-ऋण पूर्णांक संख्या n साठी क्रमगुणित आणि गॅमा फल यांमधील संबंध हा $n! = Γ (n + 1)$ असा असतो.

यूलरचे गॅमा फलाचे मूळचे सूत्र $\Gamma (z)=\lim _{n\to \infty }{\frac {n^{z}n!}{\displaystyle \prod _{k=0}^{n}(z+k)}}.$

कार्ल फ्रेडरिक गॉस यांनी समान हेच दर्शविण्यासाठी $Π(z)$ चिन्ह वापरले, परंतु चलाची किंमत ही १ ने बदलली आहे, जेणेकरून ते गैर-ऋणात्मक पूर्णांकांच्या क्रमगुणितांसाठी बरोबर ठरेन. पाय फलाची व्याख्या $\Pi (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z}e^{-t}\,dt.$ तच

पाय आणि गॅमा फलामधील संबंधाचे सूत्र $Π (z) = Γ (z + 1)$ .

अशाप्रकारे प्रत्येक गैर-ऋण पूर्णांक संख्या n साठी, $Π (n) = n!$ .

या व्यतिरिक्त , पाय फल हे क्रमगुणिताप्रमाणे परिभाषित केलेल्या प्रत्येक $z$ (परिभाषित केलेली संमिश्र संख्यां) ला पुनरावृत्ती दर्शविते. $\Pi (z)=z\Pi (z-1)\,.$

हे पुनरावृत्ती संबंध आहे. याला गॅमा फलात लिहील्यास, हे पुनरावृत्त राहत नाही. $\Gamma (n+1)=n\Gamma (n)\,.$

अर्ध-पूर्णांक संख्यांना या फलांची किंमत ही त्यांच्यापैकी एकाद्वारे निर्धारित केली जाते: $\Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)=\left(-{\frac {1}{2}}\right)!=\Pi \left(-{\frac {1}{2}}\right)={\sqrt {\pi }}\,,$ हे $n \in N$ साठी, ${\begin{aligned}&\Gamma \left({\frac {1}{2}}+n\right)=\left(-{\frac {1}{2}}+n\right)!=\Pi \left(-{\frac {1}{2}}+n\right)\\[5pt]={}&{\sqrt {\pi }}\prod _{k=1}^{n}{\frac {2k-1}{2}}={\frac {(2n)!}{4^{n}n!}}{\sqrt {\pi }}={\frac {(2n-1)!}{2^{2n-1}(n-1)!}}{\sqrt {\pi }}\,.\end{aligned}}$ उदाहरणार्थ, $\Gamma \left({\frac {9}{2}}\right)={\frac {7}{2}}!=\Pi \left({\frac {7}{2}}\right)={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {3}{2}}\cdot {\frac {5}{2}}\cdot {\frac {7}{2}}{\sqrt {\pi }}={\frac {8!}{4^{4}4!}}{\sqrt {\pi }}={\frac {7!}{2^{7}3!}}{\sqrt {\pi }}={\frac {105}{16}}{\sqrt {\pi }}\approx 11.631\,728\ldots$

सर्व $n \in N$ साठी, $\Gamma \left({\frac {1}{2}}-n\right)=\left(-{\frac {1}{2}}-n\right)!=\Pi \left(-{\frac {1}{2}}-n\right)={\sqrt {\pi }}\prod _{k=1}^{n}{\frac {2}{1-2k}}={\frac {\left(-4\right)^{n}n!}{(2n)!}}{\sqrt {\pi }}\,.$ उदाहरणार्थ, $\Gamma \left(-{\frac {5}{2}}\right)=\left(-{\frac {7}{2}}\right)!=\Pi \left(-{\frac {7}{2}}\right)={\frac {2}{-1}}\cdot {\frac {2}{-3}}\cdot {\frac {2}{-5}}{\sqrt {\pi }}={\frac {\left(-4\right)^{3}3!}{6!}}{\sqrt {\pi }}=-{\frac {8}{15}}{\sqrt {\pi }}\approx -0.945\,308\ldots$