संमिश्र संख्या

a + bi ही संमिश्र संख्या आरगंड आलेखावर एका सदिशाच्या रूपात दाखवली आहे. येथे Im हा काल्पनिक अक्ष आहे, Re हा वास्तविक अक्ष आहे आणि ज्याचा वर्ग -१ आहे असे i हे काल्पनिक एकक आहे.

जर अ आणि ब या वास्तविक संख्या असून, i^२ = −१ असेल तर अ + ब i अशा रूपात दर्शवण्यात येणाऱ्या संख्येला संमिश्र संख्या - इंग्रजीमध्ये Complex number (कॉम्प्लेक्स नंबर) म्हणतात. या पदावलीमध्ये अ या भागाला संमिश्र संख्येचा वास्तविक भाग आणि ब या भागाला काल्पनिक भाग म्हटले जाते.

संमिश्र संख्या आलेखावर दर्शवताना वास्तविक भागासाठी क्ष-अक्ष, तर काल्पनिक भागासाठी य-अक्ष वापरतात. संमिश्र संख्या अ + ब i ही आलेखावर (अ, ब) या बिंदूने दर्शवली जाते. ज्या संमिश्र संख्येचा वास्तविक भाग शून्य आहे अशा संख्येला पूर्णतः काल्पनिक म्हणतात, तर ज्या संमिश्र संख्येचा काल्पनिक भाग शून्य असतो ती वास्तविक संख्या असते. अर्थातच सर्व वास्तविक संख्यांचा समावेश संमिश्र संख्यांमध्ये होतो. जे प्रश्न फक्त वास्तविक संख्यांनी सोडवले जाऊ शकत नाहीत ते अनेकदा संमिश्र संख्यांनी सोडवता येतात..

संमिश्र संख्यांच्या गणितातील वापराबरोबरच त्यांचा भौतिकशास्त्र, रसायनशास्त्र, जीवशास्त्र, अर्थशास्त्र, विद्युत अभियांत्रिकी आणि सांख्यिकी यासारख्या अनेक क्षेत्रांमध्ये व्यावहारिक उपयोग होतो.

प्राथमिक गुणधर्म

व्याख्या

जर a आणि b या वास्तविक संख्या असून, i^२ = −१ असेल तर a + bi अशा रूपात दर्शवण्यात येणाऱ्या संख्येला संमिश्र संख्या म्हणतात. उदाहरणार्थ, -३.५ + २i ही एक संमिश्र संख्या आहे.

a या वास्तविक संख्येला a + bi या संमिश्र संखेचा "वास्तविक भाग" म्हणतात; b या वास्तविक संखेला a + bi या संमिश्र संखेचा "काल्पनिक भाग" म्हणतात. या पद्धतीनुसार काल्पनिक भागामध्ये काल्पनिक एकक iचा समावेश केला जात नाही. त्यामुळे b हा काल्पनिक भाग आहे, bi नाही. z या संमिश्र संख्येचा वास्तविक भाग Re(z) असा दर्शवतात तर काल्पनिक भाग Im(z) असा दर्शवतात. उदाहरणार्थ

${\begin{aligned}\operatorname {Re} (-3.5+2i)&=-3.5\\\operatorname {Im} (-3.5+2i)&=2.\end{aligned}}$

म्हणून, $\operatorname {Re} (z)+\operatorname {Im} (z)\cdot i$. या रूपाला संमिश्र संख्येचे कार्टेशीय रूप असेही म्हणतात.

प्राथमिक गणिती प्रक्रिया

संयुग्मी

z आणि त्याचे संमिश्र संयुग्मी ${\bar {z}}$ यांचे संमिश्र प्रतलामधील सादरीकरण.

जर z = x + yi एक संमिश्र संख्या असेल, तर x - yi या संख्येला तिची संमिश्र संयुग्मी (Complex conjugate - कॉम्प्लेक्स काँज्युगेट) म्हणतात. त्याला ${\bar {z}}$ किंवा z* ने दर्शवले जाते.

z या कोणत्याही संमिश्र संख्येसाठी:

${\bar {z}}=\operatorname {Re} (z)-\operatorname {Im} (z)\cdot i.$

भूमितीयरीत्या ${\bar {z}}$ हे zचे वास्तविक अक्षाभोवतीचे प्रतिबिंब आहे.

z या संमिश्र संख्येचे वास्तविक आणि काल्पनिक भाग संमिश्र संयुग्मीने मिळवता येतात:

$\operatorname {Re} \,(z)={\tfrac {1}{2}}(z+{\bar {z}}),\,$

$\operatorname {Im} \,(z)={\tfrac {1}{2i}}(z-{\bar {z}}).\,$

संमिश्र संख्या तेव्हाच वास्तविक असते जेव्हा ती संख्या बरोबर तिची संमिश्र संयुग्मी असते.

संमिश्र संयुग्मीचे काही गुणधर्म:

${\overline {z+w}}={\bar {z}}+{\bar {w}},\,$

${\overline {z-w}}={\bar {z}}-{\bar {w}},\,$

${\overline {zw}}={\bar {z}}{\bar {w}},\,$

${\overline {(z/w)}}={\bar {z}}/{\bar {w}}.\,$

बेरीज आणि वजाबाकी

दोन संमिश्र संख्यांची बेरीज भूमितीयरीत्या एक समांतरभुज चौकोन बनवून करता येते.

संमिश्र संख्यांची बेरीज त्यांच्या वास्तविक भागाची वास्तविक भागाशी आणि काल्पनिक भागाची काल्पनिक भागाशी बेरीज करून करतात. उदाहरणार्थ:

$(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.\$

त्याचप्रकारे वजाबाकीही केली जाते:

$(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.\$

गुणाकार आणि भागाकार

दोन संमिश्र संख्यांचा गुणाकार पुढील सूत्राने केला जातो:

$(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i.\$

येथे काल्पनिक एककाचा वर्ग बरोबर -१ याचा वापर केला गेला आहे:

$i^{2}=i\times i=-1.\$

संमिश्र संख्यांचा भागाकार संमिश्र संख्यांचा गुणाकार आणि वास्तविक संख्यांचा भागाकार यांच्या सहाय्याने केला जातो. जेव्हा c आणि d पैकी कमीत कमी एक संख्या शून्य नसते तेव्हा

$\,{\frac {a+bi}{c+di}}=\left({ac+bd \over c^{2}+d^{2}}\right)+\left({bc-ad \over c^{2}+d^{2}}\right)i.$

पुढील निरीक्षणामुळे भागाकाराची अशाप्रकारे व्याख्या करता येते:

$\,{\frac {a+bi}{c+di}}={\frac {\left(a+bi\right)\cdot \left(c-di\right)}{\left(c+di\right)\cdot \left(c-di\right)}}=\left({ac+bd \over c^{2}+d^{2}}\right)+\left({bc-ad \over c^{2}+d^{2}}\right)i.$

याआधी दाखवल्याप्रमाणे c − di ही संख्या c + di या विभाजकाची संमिश्र संयुग्मी आहे. भागाकाराची व्याख्या करण्यासाठी विभाजकचा काल्पनिक किंवा वास्तविक भाग शून्य नसणे गरजेचे आहे.

व्यस्त

z = x + yi या अशून्य संमिश्र संख्येचा व्यस्त पुढीलप्रमाणे दिला जातो:

${\frac {1}{z}}={\frac {\bar {z}}{z{\bar {z}}}}={\frac {\bar {z}}{x^{2}+y^{2}}}={\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}-{\frac {y}{x^{2}+y^{2}}}i.$

ध्रुवीय स्वरूप

कोनांक φ आणि मापांक r आरगांड प्रतलावर एखादा बिंदू शोधण्यात मदत करतात; $r(\cos \varphi +i\sin \varphi )$ किंवा $re^{i\varphi }$ हे त्या बिंदूचे "ध्रुवीय" गुणक आहेत.

निरपेक्ष मूल्य आणि कोनांक

"क्ष" आणि "य" गुणक न वापरता एखाद्या बिंदूची संमिश्र प्रतलावर व्याख्या करण्यासाठी इतर मार्ग आहेत. "प" या बिंदूचे "अ" या आरंभबिंदूपासूनचे (ज्याचे गुणक (०,०) आहेत) अंतर आणि "अप" या रेषेने धन वास्तविक अक्षाशी घड्याळाच्या विरुद्ध दिशेने केलेला कोन यांच्या सहाय्याने बिंदूची व्याख्या केली जाऊ शकते. अशाप्रकारच्या व्याख्येला ध्रुवीय स्वरूप म्हणतात.

z = x + yi संमिश्र संख्येचे निरपेक्ष मूल्य (किंवा मापांक) पुढील सूत्राने दिला जातो:

$\textstyle r=|z|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}.\,$

जर z वास्तविक संख्या (म्हणजे, y = ०) असेल तर r = | x |. पायथागोरसच्या सिद्धान्तानुसार r हे "प" या संमिश्र बिंदूपासून आरंभबिंदूपर्यंतचे अंतर आहे. निरपेक्ष संख्येचा वर्ग पुढीलप्रमाणे:

$\textstyle |z|^{2}=z{\bar {z}}=x^{2}+y^{2}.\,$

जिथे ${\bar {z}}$ हे $z$ या संख्येचे संमिश्र संयुग्म आहे.

"अप" या रेषेने (त्रिज्येने) धन वास्तविक अक्षाशी केलेल्या कोनाला कोनांक म्हणतात. $z$चा कोनांक $\arg(z)$ असा लिहितात. मापांक किंवा त्रिज्येप्रमाणे कोनांक $x+yi$ या कार्टेशीय स्वरूपापासून मिळवता येतो:

$\varphi =\arg(z)={\begin{cases}\arctan({\frac {y}{x}})&{\mbox{if }}x>0\\\arctan({\frac {y}{x}})+\pi &{\mbox{if }}x<0{\mbox{ and }}y\geq 0\\\arctan({\frac {y}{x}})-\pi &{\mbox{if }}x<0{\mbox{ and }}y<0\\{\frac {\pi }{2}}&{\mbox{if }}x=0{\mbox{ and }}y>0\\-{\frac {\pi }{2}}&{\mbox{if }}x=0{\mbox{ and }}y<0\\{\mbox{indeterminate }}&{\mbox{if }}x=0{\mbox{ and }}y=0.\end{cases}}$

r आणि φ एकत्रितपणे संमिश्र संख्या दर्शवण्याचे आणखी एक स्वरूप उपलब्ध करून देतात, ज्याला संमिश्र संख्यांचे ध्रुवीय स्वरूप म्हणतात. या दोन संज्ञांनी एखाद्या बिंदूचे संमिश्र प्रतलावरील स्थान पूर्णपणे निश्चित करता येते. ध्रुवीय स्वरूपावरीन मूळ कार्टेशीय रूप "त्रिमितीय सूत्र" वापरून मिळवता येते:

$z=r(\cos \varphi +i\sin \varphi ).\,$

ऑयलरचे सुत्र वापरून याला असेही लिहिता येते:

$z=re^{i\varphi }.\,$

ध्रुवीय स्वरूपातील गुणाकार आणि भागाकार

२ + i (निळा त्रिकोण) आणि ३ + i (लाल त्रिकोण) यांचा गुणाकार. लाल त्रिकोणाला निळ्या त्रिकोणाच्या पायासमोरील शिरोबिंदूशी जुळवण्यासाठी फिरवले जाते आणि निळ्या त्रिकोणाच्या कर्णाच्या लांबीने (√५ ने) गुणून ताणले जाते.

ध्रुवीय स्वरूपामध्ये गुणाकार, भागाकार आणि घातांकीकरण कार्टेशीय स्वरूपापेक्षा सोपे असतात. दोन संमिश्र संख्या z₁ = r₁(cos φ₁ + i sin φ₁) आणि z₂ = r₂(cos φ₂ + i sin φ₂) दिल्या असता, पुढील प्रसिद्ध त्रिकोणमितीय नित्यसमीकरणांमुळे

$\cos(a)\cos(b)-\sin(a)\sin(b)=\cos(a+b)$

$\cos(a)\sin(b)+\sin(a)\cos(b)=\sin(a+b)$

आपल्याला गुणाकाराचे पुढील समीकरण मिळते:

$z_{1}z_{2}=r_{1}r_{2}(\cos(\varphi _{1}+\varphi _{2})+i\sin(\varphi _{1}+\varphi _{2})).\,$

म्हणजेच मापांकांचा गुणाकार केला जातो आणि कोनांकांची बेरीज करून गुणाकाराचे ध्रुवीय स्वरूप दिले जाते. उजवीकडील चित्रामध्ये

$(2+i)(3+i)=5+5i.\,$

यांचा गुणाकार दर्शवला आहे. 5 + 5iचा वास्तविक आणि काल्पनिक भाग सारखा असल्याने त्याचा कोनांक ४५ अंश किंवा π/4 रेडियन आहे. त्याचबरोबर हा कोनांश लाल आणि निळ्या त्रिकोणांनी आरंभबिंदूपाशी केलेल्या कोनांच्या (arctan(1/3) आणि arctan(1/2)) बेरजेइतका आहे. त्यामुळे

${\frac {\pi }{4}}=\arctan {\frac {1}{2}}+\arctan {\frac {1}{3}}$

हे सूत्र बरोबर आहे.

त्याचप्रमाणे भागाकार पुढीलप्रमाणे दिला जातो:

${\frac {z_{1}}{z_{2}}}={\frac {r_{1}}{r_{2}}}\left(\cos(\varphi _{1}-\varphi _{2})+i\sin(\varphi _{1}-\varphi _{2})\right).$