अन्वस्ताभीय निर्देशक

विकिपीडिया, मुक्‍त ज्ञानकोशातून

अन्वस्ताभीय निर्देशके (इंग्लिश:Paraboloidal coordinates)(\lambda, \mu, \nu) ही एक त्रिमितीय लंबकोनी निर्देशक पद्धत असून ती द्विमितीय अन्वास्तीय निर्देशक पद्धतीचे व्यापक रूप आहे. विवृत्ताभीय निर्देशकांप्रमाणे अन्वस्ताभीय निर्देशक पद्धतीत लंबकोनी द्विघाती निर्देशक प्रतले असतात ती द्विमितीय लंबकोनी पद्धतींच्या प्रक्षेपणाने किंवा परिवलनाने बनत नाहीत

त्रिमितीय अन्वस्ताभीय निर्देशकांचे निर्देशक आवरणे.

प्राथमिक सूत्रे[संपादन]

कार्टेशियन निर्देशके (x, y, z) विवृत्ताभीय निर्देशकांपासून ( \lambda, \mu, \nu ) गणिती सूत्रांनी बनविता येऊ शकतात.


x^{2} = \frac{\left( A - \lambda \right) \left( A - \mu \right) \left( A - \nu \right)}{B - A}

y^{2} = \frac{\left( B - \lambda \right) \left( B - \mu \right) \left( B - \nu \right)}{A - B}

z = 
\frac{1}{2} \left( A + B - \lambda - \mu -\nu \right)

आणि खालील बंधने लागू पडतात.


\lambda < B < \mu < A < \nu

परिणामत:, \lambda ह्या स्थिरांकाची पृष्ठे विवृत्ताभीय अन्वस्ताभ असतात.


\frac{x^{2}}{\lambda - A} +  \frac{y^{2}}{\lambda - B}  = 2z + \lambda

आणि \nu ह्या स्थिरांकाची पृष्ठेसुद्धा तसीच असतात:-


\frac{x^{2}}{\nu - A} +  \frac{y^{2}}{\nu - B}  = 2z + \nu

तसेच, \mu ह्या स्थिरांकाची पृष्ठे अपास्तीय अन्वस्ताभ असतात:-


\frac{x^{2}}{\mu - A} +  \frac{y^{2}}{\mu - B} = 2z + \mu

मापक घटक[संपादन]

अन्वस्ताभीय निर्देशकांची (\lambda, \mu, \nu ) मापक घटके ह्याप्रमाणे आहेत:-


h_{\lambda} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{\left( \mu - \lambda \right) \left( \nu - \lambda \right)}{ \left( A - \lambda \right) \left( B - \lambda \right)}}

h_{\mu} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{\left( \nu - \mu \right) \left( \lambda - \mu \right)}{ \left( A - \mu \right) \left( B - \mu \right)}}

h_{\nu} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{\left( \lambda - \nu \right) \left( \mu - \nu \right)}{ \left( A - \nu \right) \left( B - \nu \right)}}

म्हणूनच, अतिसूक्ष्म घनफळ पुढीलप्रमाणे असते:-


dV = \frac{\left( \mu - \lambda \right) \left( \nu - \lambda \right) \left( \nu - \mu\right)}{8\sqrt{\left( A - \lambda \right) \left( B - \lambda \right) \left( A - \mu \right) \left( \mu - B \right) \left( \nu - A \right) \left( \nu  - B \right) }} \  d\lambda d\mu d\nu

\nabla \cdot \mathbf{F} आणि \nabla \times \mathbf{F} सारखे भैदन क्रियक हे लंबकोनी निर्देशकांतील मापक घटकाचे सूत्र वापरून (\lambda, \mu, \nu) ह्या निर्देशकांत मांडता येतात.

संदर्भ[संपादन]

संदर्भग्रंथ[संपादन]

  • {{{शीर्षक}}}. 
  • {{{शीर्षक}}}. 
  • {{{शीर्षक}}}. 
  • {{{शीर्षक}}}. 
  • {{{शीर्षक}}}. 
  • {{{शीर्षक}}}.  Same as Morse & Feshbach (1953), substituting uk for ξk.
  • {{{शीर्षक}}}. 

बाह्य दुवे[संपादन]