शंकु निर्देशक

विकिपीडिया, मुक्‍त ज्ञानकोशातून
शंकूनिर्देशकाची निर्देशक आवरणे. स्थिरांक b आणि c हे अनुक्रमे १ आणि २ म्हणून निवडलेली आहेत. लाल गोल r=२ दाखविते तर निळा विवृत्तीय शंकू उभ्या μ=कोज्याअ(१) (μ=cosh(1)) दाखविणाऱ्या z-अक्षाबरोबर आहे. आणि पिवळा विवृत्तीय शंकू ν = २/३ दाखविणाऱ्या x-अक्षाबरोबर (हिरवी रेषा) आहे. ही तीन आवरणे/पृष्ठे एक बिंदू P (जो काळा गोल म्हणून दाखविला आहे) कार्टेशियन निर्देशकांत अंदाजे (1.26, -0.78, 1.34) मध्ये छेदतात.

शंकू निर्देशक हे त्रिमितीय लंबकोनी निर्देशक पद्धती असून ते समकेंद्री वर्तुळे (त्रिज्या r मधून मांडलेली) आणि अनुक्रमे z- आणि x-अक्षाची समांतर असलेल्या दोन लंबित शंकूकुलांपासून बनलेले आहे.

प्राथमिक व्याख्या[संपादन]

शंकू निर्देशके (r, \mu, \nu) ह्याची व्याख्या अशी केली जाते:-


x = \frac{r\mu\nu}{bc}

y = \frac{r}{b} \sqrt{\frac{\left( \mu^{2} - b^{2} \right) \left( \nu^{2} - b^{2} \right)}{\left( b^{2} - c^{2} \right)} }

z = \frac{r}{c} \sqrt{\frac{\left( \mu^{2} - c^{2} \right) \left( \nu^{2} - c^{2} \right)}{\left( c^{2} - b^{2} \right)} }

आणि खालीलप्रमाणे बंधने:-


\nu^{2} < c^{2} < \mu^{2} < b^{2}

r स्थिरांकाची आवरणे हे केंद्रबिंदूची केंद्रीत त्रिज्येचे गोल होय:-


x^{2} + y^{2} + z^{2} = r^{2}

तसेच, \mu आणि \nu स्थिरांकांची आवरणे ही सहलंबित शंकू होय:-


\frac{x^{2}}{\mu^{2}} + \frac{y^{2}}{\mu^{2} - b^{2}} + \frac{z^{2}}{\mu^{2} - c^{2}} = 0

\frac{x^{2}}{\nu^{2}} + \frac{y^{2}}{\nu^{2} - b^{2}} + \frac{z^{2}}{\nu^{2} - c^{2}} = 0

ह्या निर्देशक पद्धतीत लॅप्लेसचे समीकरण आणि हेल्महोल्ट्स समीकरण अलग होउ शकते.

मापक घटक[संपादन]

त्रिज्या r चा मापक घटक हे गोलीय निर्देशकाप्रमाणे एक (h_{r} = 1) असते. दोन शंकू निर्देशकांचे मापक घटक पुढीलप्रमाणे:-


h_{\mu} = r \sqrt{\frac{\mu^{2} - \nu^{2}}{\left( b^{2} - \mu^{2} \right) \left( \mu^{2} - c^{2} \right)}}

h_{\nu} = r \sqrt{\frac{\mu^{2} - \nu^{2}}{\left( b^{2} - \nu^{2} \right) \left( c^{2} - \nu^{2} \right)}}

संदर्भ[संपादन]

संदर्भग्रंथ[संपादन]

  • Methods of Theoretical Physics, Part I. 
  • The Mathematics of Physics and Chemistry. 
  • Mathematical Handbook for Scientists and Engineers. 
  • Mathematische Hilfsmittel des Ingenieurs. 
  • Mathematical Methods for Physicists. 
  • Field Theory Handbook, Including Coordinate Systems, Differential Equations, and Their Solutions. 

बाह्य दुवे[संपादन]