द्विगोलीय निर्देशक

विकिपीडिया, मुक्‍त ज्ञानकोशातून
द्विगोलीय निर्देशकांचे चित्र

द्विगोलीय निर्देशके हे त्रिमितीय लंबकोनी निर्देशक पद्धती असून ते ज्या दोन नाभ्या जोडल्या जातात त्याच्या अक्षाभोवती द्विमितीय द्विध्रुवीय निर्देशक पद्धतींच्या परिवलनाने बनते. म्हणूनच द्विध्रुवीय निर्देशकांतील दोन नाभ्या ह्या द्विगोलीय निर्देशक पद्धतीत सुद्धा (z-अक्षाकडे - परिवलन अक्षाकडे) निर्देशक करते.

व्याख्या[संपादन]

द्विगोलीय निर्देशकांची (\sigma, \tau, \phi) सर्वसामान्य व्याख्या म्हणजे,


x = a \ \frac{\sin \sigma}{\cosh \tau - \cos \sigma} \cos \phi

y = a \ \frac{\sin \sigma}{\cosh \tau - \cos \sigma} \sin \phi

z = a \ \frac{\sinh \tau}{\cosh \tau - \cos \sigma}

आणि बिंदू P चा \sigma निर्देशक F_{1} P F_{2}च्या एवढे असते आणि \tau निर्देशक d_{1} आणि d_{2} ह्या नाभ्यांच्या गुणोत्तराच्या नैसर्गिक शब्दांका एवढे असते.


\tau = \ln \frac{d_{1}}{d_{2}}

निर्देशक पृष्ठे[संपादन]

\sigma स्थिरांकाची पॄष्ठे छेदणाऱ्या विविध त्रिज्येच्या वृत्तवलयासंबंधीत असते.


z^{2} +
\left( \sqrt{x^2 + y^2} - a \cot \sigma \right)^2 = \frac{a^2}{\sin^2 \sigma}

हे सगळे नाभीतून पार होतात, परंतु ते समकेंद्री नाहीत. \tau स्थिरांकाची पृष्ठे न छेदणाऱ्या विविध त्रिज्येच्या गोलासंबंधीत असते.


\left( x^2 + y^2 \right) +
\left( z - a \coth \tau \right)^2 = \frac{a^2}{\sinh^2 \tau}

हे नाभींच्या भोवती असते. \tau स्थिरांकाच्या केंद्री z-अक्षाच्या बाजूस अनेक गोल असतात, तर \sigmaह्या स्थिरांकाची वृत्तवलये xy प्रतलाच्या केंद्रभागी असते.

व्यस्त सूत्रे[संपादन]

मापक घटक[संपादन]

द्विगोलीय निर्देशक \sigma आणि \tau ह्याची मापक घटके पुढीलप्रमाणे असतात:-


h_\sigma = h_\tau = \frac{a}{\cosh \tau - \cos\sigma}

आणि दिगंशीय मापक घटक पुढीलप्रमाणे असते:-


h_\phi = \frac{a \sin \sigma}{\cosh \tau - \cos\sigma}

म्हणूनच, अतिसूक्ष्म घनफळ पुढीलप्रमाणे असते:-


dV = \frac{a^3 \sin \sigma}{\left( \cosh \tau - \cos\sigma \right)^3} \, d\sigma \, d\tau \, d\phi

आणि लॅप्लेसियन पुढीलप्रमाणे दाखविले जाते:-


\begin{align}
\nabla^2 \Phi =
\frac{\left( \cosh \tau - \cos\sigma \right)^3}{a^2 \sin \sigma} 
& \left[
\frac{\partial}{\partial \sigma}
\left( \frac{\sin \sigma}{\cosh \tau - \cos\sigma}
\frac{\partial \Phi}{\partial \sigma}
\right) \right. \\[8pt]
&{} \quad + \left.
\sin \sigma \frac{\partial}{\partial \tau}
\left( \frac{1}{\cosh \tau - \cos\sigma}
\frac{\partial \Phi}{\partial \tau}
\right) + 
\frac{1}{\sin \sigma \left( \cosh \tau - \cos\sigma \right)}
\frac{\partial^2 \Phi}{\partial \phi^2}
\right]
\end{align}

\nabla \cdot \mathbf{F} आणि \nabla \times \mathbf{F} सारखे भैदन क्रियक हे लंबकोनी निर्देशकांतील मापक घटकाचे सूत्र वापरून (\sigma, \tau) ह्या निर्देशकांत मांडता येतात.

उपयोग[संपादन]

द्विगोलीय निर्देशकांचा पारंपारिक वापर म्हणजे अर्धभैदिक समीकरणे सोडविणे होय. उदा. लॅप्लेसचे समीकरण. द्विगोलीय निर्देशके हे समीकरण चलांच्या विलगीकरणात उपयोगी पडते. तथापि, हेल्महोल्ट्स समीकरण द्विगोलीय निर्देशकांत विलग होऊ शकत नाहीत. ह्याच चपखल उदाहरण म्हणून भिन्न त्रिओज्येचे दोन विद्युत प्रवाहित गोलांभोवतालच्या विद्युत क्षेत्रांचे देता येईल.

संदर्भ[संपादन]

साचा:Empty section

संदर्भग्रंथ[संपादन]

  • {{{शीर्षक}}}. 
  • {{{शीर्षक}}}. 
  • {{{शीर्षक}}}. 
  • {{{शीर्षक}}}. 

बह्य दुवे[संपादन]