"युक्लीड" च्या विविध आवृत्यांमधील फरक

Content deleted Content added

Inline

१९:१९, २२ नोव्हेंबर २०१४ ची आवृत्ती

युक्लीड ऊर्फ युक्लिड ऑफ अलेक्झांड्रिया हे इ.स.पू. ३०० च्या काळातील ग्रीक गणितज्ञ होते. त्यांना भूमितीचा जनक असेही म्हटले जाते.

अथेन्समध्ये जन्मलेला युक्लीड पुढे इजिप्तमध्ये शिकला आणि अॅलेक्झांड्रिया शहरात भूमिती या विषयाच्या संशोधनात रंगला. अॅरिस्टोटलपासून प्रेरणा घेऊन युक्लीडने गणितात अलौकिक संशोधन केले. पायथॅगोरस, प्लेटो, थेल्स वगैरेंच्या संशोधनातील त्रुटी दुरुस्त करून आणि त्यात स्वतःचे संशोधन मिळवून युक्लीडने ’एलिमेंट्स ऑफ जॉमेट्री’ हा भूमितीवरचा जगप्रसिद्ध ग्रंथ लिहून तेरा भागात प्रकाशित केला.लिहिला.

युक्लीडच्या पहिल्या चार पुस्तकांत रेषा कोन, सरलरेषाकृती वगैरे एकाच पातळींत असणार्‍या आकृतींचे गुणधर्म सांगितले आहेत. पांचव्या पुस्तकांत गुणोत्तर व प्रमाण यांचे कांहीं धर्म सांगून त्यांचा उपयोग सहाव्या पुस्तकांत केला आहे. पुढच्या चार पुस्तकांत अंक सिद्धान्ताचे विवरण अकराव्या, बाराव्या व तेराव्या पुस्तकांतून नियमित घनाकृतींचा विचार केला आहे. त्यांत घन (Cube), Tetrahedron आणि Octahedron सारख्या पाच नियमित घनाकृतींविषयीं विशेष विचार केला आहे.

अंकसिद्धान्तावरच्या पुस्तकात त्याने अविभाज्य अंक अमर्याद आहेत हे सिद्ध केले आहे.

अविभाज्य अंकांच्या अमर्यादित्वाची सिद्धता

युक्लीडने असा तर्क केला की, अविभाज्य अंक (prime numbers) यांची संख्या मर्यादित आहे असे गृहीत धरू या. आणि सगळ्यात मोठा अविभाज्य अंकाला क्ष म्हणू. आता २ पासून सुरुवात करून क्ष पर्यंतच्या सर्व अविभाज्य अंकांचा गुणाकार करा व त्यात १ मिळवा. म्हणजे य = २ X ३ X ५ X ७ X ११ . . . .X क्ष + १. य हा क्ष पेक्षा मोठा तर आहे, पण तो विभाज्य आहे आहे का? जर य विभाज्य असेल, तर त्याला कोणत्या तरी अंकाने ने पूर्ण भाग गेला पाहिजे. पण अशा कोणत्याही आकड्याने य ला पूर्ण भाग जाऊ शकत नाही, कारण या सर्व अविभाज्य आकड्यांचा गुणाकार करून त्यात्त १ मिळवूनच आपण य बनविला आहे, तेंव्हा कोणत्याही संख्येने ’य’ला भागले तरी १ ही बाकी उरणारच. याचा अर्थ य अविभाज्य आहे. म्हणजे क्ष हा सगळ्यात मोठा अविभाज्य अंक आहे हे आपले गृहीतक चुकीचे आहे. अर्थात, अविभाज्य अंकांची संख्या अमर्यादित (infinite) आहे.

@@ ओळ १: / ओळ १: @@
 [[चित्र:Euklid-von-Alexandria 1.jpg|thumb|right| युक्लिड ऑफ अलेक्झांड्रिया]]
-'''युक्लिड''' ऊर्फ '''युक्लिड ऑफ अलेक्झांड्रिया''' हे [[इ.स.पू. ३००]] च्या काळातील ग्रीक गणितज्ञ होते. त्यांना भूमितीचा जनक असेही म्हटले जाते.
+'''युक्लीड''' ऊर्फ '''युक्लिड ऑफ अलेक्झांड्रिया''' हे [[इ.स.पू. ३००]] च्या काळातील ग्रीक गणितज्ञ होते. त्यांना भूमितीचा जनक असेही म्हटले जाते.
+अथेन्समध्ये जन्मलेला युक्लीड पुढे इजिप्तमध्ये शिकला आणि अॅलेक्झांड्रिया शहरात भूमिती या विषयाच्या संशोधनात रंगला.  अॅरिस्टोटलपासून प्रेरणा घेऊन युक्लीडने गणितात अलौकिक संशोधन केले. पायथॅगोरस, प्लेटो, थेल्स वगैरेंच्या संशोधनातील त्रुटी दुरुस्त करून आणि त्यात स्वतःचे संशोधन मिळवून युक्लीडने ’एलिमेंट्स ऑफ जॉमेट्री’ हा भूमितीवरचा जगप्रसिद्ध ग्रंथ लिहून तेरा भागात प्रकाशित केला.लिहिला.
+युक्लीडच्या पहिल्या चार पुस्तकांत रेषा कोन, सरलरेषाकृती वगैरे एकाच पातळींत असणार्‍या आकृतींचे गुणधर्म सांगितले आहेत. पांचव्या पुस्तकांत गुणोत्तर व प्रमाण यांचे कांहीं धर्म सांगून त्यांचा उपयोग सहाव्या पुस्तकांत केला आहे. पुढच्या चार पुस्तकांत अंक सिद्धान्ताचे विवरण अकराव्या, बाराव्या व तेराव्या पुस्तकांतून नियमित घनाकृतींचा विचार केला आहे. त्यांत घन (Cube), Tetrahedron आणि Octahedron सारख्या पाच नियमित घनाकृतींविषयीं विशेष विचार केला आहे.
+अंकसिद्धान्तावरच्या पुस्तकात त्याने अविभाज्य अंक अमर्याद आहेत हे सिद्ध केले आहे.
+==अविभाज्य अंकांच्या अमर्यादित्वाची सिद्धता==
+युक्लीडने असा तर्क केला की, अविभाज्य अंक (prime numbers) यांची संख्या मर्यादित आहे असे गृहीत धरू या. आणि सगळ्यात मोठा अविभाज्य अंकाला क्ष म्हणू. आता २ पासून सुरुवात करून क्ष पर्यंतच्या सर्व अविभाज्य अंकांचा गुणाकार करा व त्यात १ मिळवा. म्हणजे य = २ X ३ X ५ X ७ X ११ . . . .X क्ष + १. य हा क्ष पेक्षा मोठा तर आहे, पण तो विभाज्य आहे आहे का? जर य विभाज्य असेल, तर त्याला कोणत्या तरी अंकाने ने पूर्ण भाग गेला पाहिजे. पण अशा कोणत्याही आकड्याने य ला पूर्ण भाग जाऊ शकत नाही, कारण या सर्व अविभाज्य आकड्यांचा गुणाकार करून त्यात्त १ मिळवूनच आपण य बनविला आहे, तेंव्हा कोणत्याही संख्येने ’य’ला भागले तरी १ ही बाकी उरणारच. याचा अर्थ य अविभाज्य आहे. म्हणजे क्ष हा सगळ्यात मोठा अविभाज्य अंक आहे हे आपले गृहीतक चुकीचे आहे. अर्थात, अविभाज्य अंकांची संख्या अमर्यादित (infinite) आहे.
 {{विस्तार}}