चक्रवाढ व्याजाचे गणित

आभाला आई म्हणाली तुझ्या जवळ सगळे भाऊबीजेचे पैसे ठेवू नकोस . मला दे. आभा म्हणाली ‘ माझे म्हणून तुझ्या जवळ ठेव’ . मग आई म्हणाली ‘ ह्या वर्षी मनिषला नवी नोकरी लागली त्याने तुला चांगले १००० रु दिलेत, त्यामुळे हे आणि मागचे तुझे बक्षिसाचे असे सगळे आपण बँकेत ठेवू ‘ . ‘बँकेत कशाला , राहु देत तुझ्या जवळच’ . आई ने सांगितले तुला तुझे पैसे वाढायला हवेत ना, मग बँकेत ठेवू. बँकेत ठेवलेले पैसे वाढतात .त्या निमित्ताने तुला हळूहळू बँकेत पैसे ठेवणे , काढणे ,पुस्तक भरणे हे ही शिकता येईल’. अतूलने विचारले ‘आई आभाला उगाच काहीतरी सांगू नको तुझ्या जवळ ठेवले तर पैसे वाढणार नाहीत मग बँकेत ठेवून कसे वाढतील ? त्या पेक्षा माझ्या कडेच दे जोरात वाढतील.' सगळे हसले . आईने समजावाले ' ज्यांच्या कड़े पैसे नसतात आणि ज्यांना व्यवसाय करायचा असतो, वस्तु विकत घ्यायच्या असतात असे लोक बँकेकडून कर्ज घेतात त्यावर व्याज देतात , म्हणजे घेतलेले पैसे परत देताना घेतले त्या पेक्षा जास्त परत देतात. ह्या वाढीव भागातील व्याजातील काही भाग बैंक आपल्याला देते. म्हणून बँकेत ठेवलेले पैसे वाढतात . आभाला खुप गम्मत वाटली . मला किती मिळतील ? ते समजावून घेण्यासाठी थोडेसे गणित करायला लागेल. समजा १०० रु १ वर्षाकरता ठेवले , तर वर्षा अखेरीस १०८ रु मिळतील असे ठरले आहे म्हणजे एक वर्षात १०० रु मधे ८ रुची वाढ होईल . हा झाला दर. आता २०० रु एक वर्ष गुंतवले म्हणजे बँकेत ठेवले तर पहिल्या १०० वर ८ जास्त , अजुन एकदा १०० वर ८ जास्त , त्यांची बेरीज म्हणून २०० वर १६ रु जास्त मिळतील शेवटी २१६ रु मिळतील. १०० रु ह्याच दराने तीन वर्षे ठेवले तर पहिल्या वर्षी ८ , दुसऱ्या वर्षी ८ आणि तिसऱ्या वर्षी ८ ऐसे ८ X ३ = २४ वाढ मिळेल . हा अगदी गुणोत्तर आणि प्रमाण असा खेळ आहे . १००ला ८ तर २००ला ८ x २ = १६. १०० ल १ वर्षाला ८ तर १००ला दोन वर्षाना ८ x २ =१६. मग २००ला २ वर्षाना , ८x २x x २ = ३२ रु वाढ मिळेल . अतुल ने सांगितले बरोबर हे तर झाले सरळ व्याज. व्याज हे मुद्दलच्या सम प्रमाणात वाढते. 100रु. मुद्दलावर ८ रुपये व्याज मिळते तर, १००० रु. मुद्दलावर ८० रु. व्याज मिळेल. व्याज मुदतीच्या सम प्रमाणात वाढते. आणि समजा दर ही बदलणार असेल तर व्याज दराच्या सुद्धा सम प्रमाणात बदलते. समजा म = मुद्दल , द = दर , क = काळ व्याज = म x द x क / १०० हे सूत्र तयार होते. फ़क्त गुणोत्तर आणि सम प्रमाण इतकेच समजून घ्यायचे. अतुलला हे फारच आवडले सरळ व्याज म्हणजे सम प्रमाणातील गोष्टी कशा वाढतात , कमी होतात हे समजून घेणे इतकेच . म्हणजे विषय तोच उदाहरण फ़क्त वेगळे असेच काहीतरी सारखे सारखे त्याला वाटू लागले. मग त्या वर विचार करता करता एक वेगळेच रीळ सुटायला लागले , त्या दोरयाला आवारात सावरत तो बागडू लागला. त्याला असे काही तरी व्हायला लागले की ते त्याच्या चेहऱ्यावर अलगद उतरते , डोळ्यात जाणवते आणि मग कही तरी भन्नाट बोलले , केले जाते. आई काळजी मिश्रित कौतुकने , आभा गेला कामातून आणी नेहा आणि सुहृद आता काय नवीन असा विचार करत त्याच्या कड़े बघु लागले. त्याने ही त्यांना निराश केले नाही. असे केले तर मला तू सांगतेस त्यापेक्षा थोड़े तरी जास्तच पैसे मिळायला पाहिजेत. मी काय करीन, अगदी साधीच गोष्ट करीन एकदाच बँकेत पैसे भरीन काढणारच नाही १५ वर्षे तरी, नाही नाही २३ वर्षे काढणारच नाही , म्हणजे पैसेच पैसे पैशावर पैसे , व्याज त्यावर पैसे . अतुल एकदम मोगाम्बो सारखे हसत अतुल खुश हुवा , अतुल खुश हुवा ऐसे ओरडायला लागला. तो थोड्या वेळाने शांत झाला .आईने विचारले काय चालले तुझ्या डोक्यात शांत पणे विचार करून सुटे सुटे सांग. माझे पैसे ठेवले दर वर्षी त्यात अजून पैसे वाढणार बरोबर त्याला व्याज म्हटले असेच सारखे होणार . पण एवढेच पैसे नाही वाढणार कारण जे वाढलेले पैसे आहेत ते पण, म्हणजेच व्याज सुद्धा , मी साठवणार हीच तर आयडिया आहे . मग त्या जास्तीच्या पैशांवर सुद्धा व्याज मिळायला हवे . मग काही काढले नाही तर मी गब्बर होणार आणि काय ? काय काय करणार ते त्या वेळी सांगीन . खूप पैसे वाढणार कि नाही? तेवढ्यात नेहा आली काय पण म्हणे चक्रवाढ व्याज , आणि ते देखील असले गणित घातलेय इ इ. ‘ आई अजूनच खुशीत आली . अतुल तू जे म्हणतो आहेस ते अगदी बरोबर आहे तुझ्या जमा होणारया व्याजावर तुला परत व्याज मिळाले पाहिजे हे योग्यच आहे. हे तू मस्तच शोधले आहेस. सरळ व्याज पेक्षा जास्त पैसे मिळतील आणि मिळायला हवेतच हे दोन्ही मुद्दे योग्यच आहेत. प्रत्यक्षात असे किती पैसे मिळतील हे मात्र आपण काळजीपूर्वक काढायला पाहिजे. नेहा ओरडली काय इथे पण तोच विषय . आईने म्हणजे नेहाच्या काकूने तिला चुचकारून त्याचे सूत्र तर सांग असे म्हटले.

मुद्दल + चक्रवाढ पद्धतीने मिळालेले व्याज = रास . समजा म = मुद्दल , क = काळ , वर्षान मध्ये , द = दर रास = म ( १ + द / १०० )क

बघ असले कसले सूत्र आहे . आणि म = २५०० , द = ७.६ टक्के , आणि काळ = ३ वर्षे , रास आणि व्याज काढायचे आहे .

‘चक्रवाढ व्याज काढणे आणि त्याचे सूत्र हा विषय उगाचच बलाढ्य , अवघड असा मनाला गेलेला आहे.’ त्याचे कारण असे आहे कि हे सूत्र का येते त्या मागे कोणता व्यवहार आहे , तो तसा असणे योग्यच आहे ते का ? ह्या आणि अशा अनेक प्रश्नाची उत्तरे देण्याचा प्रयत्न ही न करता हे सूत्र , सोडवा गणित असे केले कि तो विषय कठीण होऊन बसतो.’ काल अतुलने जे आपले आपण शोधले , माहित करून घेतले तोच मुद्दा आहे. आपण थोडेसे उदाहरण घेऊ , खूपच जास्त दराने म्हणजे एका वर्षाला १०० रु. न २० रु व्याज मिळेल . पहिल्या वर्षाच्या शेवटी

मु्द्दल १०० रु + व्याज २० रु = १२० रु हातात असतील.

दुसरया वर्षी १०० रु वर २० रुचे व्याज मिलेले , अगोदरचे २० आणि हे २० असे ४० रु. जास्त मिळतीलच . मात्र माझे २० रु दुसर या वर्षी ब कडे असतीलच त्यावरही त्याने ठरलेल्या दराने व्याज द्यायला हवे . बरोबर . ते व्याज १००ला २० तर २०ला २० भागिले ५ = ४ . हे ५ आले १०० / २० ह्या पद्धतीने . म्हणजेच २ रया वर्षाच्या शेवटी पहिल्या वर्षाचे व्याज २० रु. दुसरे वर्षाचे व्याज २० रु. + मागील वर्षीच्या व्याजावरी व्याज , २० रु. वरील व्याज ४ रु. . असे २० + २० + ४ = ४४ रु जास्तीचे असतील. पहिल्या वर्षीचे व्याज गुंतवले नसते तर मिळाले असते २० + २० = ४० रु . ते व्याज गुंतवल्या मुळे मिळाले ४० + ४ = ४४. म्हणजे व्याज वर व्याज मिळायला हवे , ते ठरवलेल्या त्याच दराने मिळायला हवे ह्याच दोन मुद्द्यांच्या नुसार अधिकचे व्याज येणार आणि ते नेमके किती ते सांगता येणार.

परत आता वरील गणिताची मांडणी करू या. वर्ष १ : १०० रु .चे झाले १०० + २० = १०० ( १ + २०/१००) वर्ष २ : मुद्दल आहे १०० ( १ + २०/१०० ) त्याला ( १ + २०/१००) ने गुणले कि वर्ष अखेइर्स किती पैसे जमा होतील ते मिळेल . १०० ( १ + २० / १०० ) ( १ + २०/१०० ) = १०० ( १ + २०/१००)२

तिसर या वर्षी माझे मुद्दल म्हणजे दुसर या वर्षानंतरची रास. रास – २ . ह्या राशी वर २० टक्के व्याज मिळणार. म्हणजे रास – २ x २०/१०० व्याज मिळणार. एकंदर रक्कम = तिसऱ्या वर्षा अखेरीची रास ( रास – ३ ) = रास-२ + रास -२ x २०/१००

         = रास-२ ( १ + २०/१०० ) = १००( १ + २०/१०० )२  x ( १ + २०/१०० )
         = १०० (१ + २०/१००)३ 

आपले आताचे मुद्दल होते १०० त्याच्या ऐवजी ३०० रु मुद्दल असते तर त्यावर तीन वर्षांनी मिळणारी रक्कम = ३०० x (१ + २०/१००)३ चक्रवाढ व्याधी साठी वापरायचे सूत्र हे असे येते . अगदी आपण बघितलेल्या दोन साध्या तत्त्वांच्या आधारे , सूत्र तयार होते. मग झालेना हे सूत्र तुमचा मित्र . मित्रा बरोबर खेळायला तर आवडतेच सर्वाना . चला तर मग मजेत खेळ चक्रवाढ व्याजाच्या गणीतांशी. जस जसा काळ वाढत जातो त्या प्रमाणे आकडे मोड वाढत जाते मात्र त्यातही काही सूत्र बद्धता आहे. आणि ती गंमत केवळ चक्रवाढ व्याज संबधीच नाही आहे , तर एका मोठ्या गणितातील प्रांताची सुरुवात आहे . थोड्या दिवसांनी आपण परत भेटू त्यावेळी त्या प्रांताशी पास्कल त्रिकोणाशी दोस्ती करू.