लॉगॅरिदम

गणितामध्ये लॉगॅरिदम (Logarithm) ही घातांकाच्या विरुद्ध क्रिया आहे. स्कॉटिश गणितज्ञ जॉन नेपियर यांनी सुचविलेल्या या युक्तीमुळे गुणाकार-भागाकार, वर्ग-घन करणे वर्गमूळ-घनमूळ काढणे आदी क्रिया सोप्या झाल्या. लॉगॅरिदममुळे गुणाकार आणि भागाकार यांसारख्या तुलनेने क्लिष्ट क्रियांना बेरीज आणि वजाबाकी यासारख्या सहज करता येण्यासारख्या गणिती क्रियांमध्ये बदलता येऊ शकते. एखाद्या संख्येचा लॉगॅरिदम म्हणजे एक हा अंक सोडून दुसऱ्या कोणत्याही आधारांकावर (बेस-bवर) कोणता घात-x चढवल्यावर ती संख्या मिळते तो अंक. उदाहरणार्थ, आधारांक १० चा तिसरा घात म्हणजे १००० (१०^३ = १० x १० x १० = १०००). म्हणून, १००० चा १० आधारांकी लॉगॅरिदम ३ आहे. घातांकीकरण (एक्सपोनेन्शिएशन) या क्रियेमध्ये कोणत्याही धन वास्तव संख्येचा वास्तव घात काढता येतो व तो नेहमी धन असतो, म्हणून b आणि x सारख्या कोणत्याही धन वास्तव संख्या वापरून लॉगॅरिदम काढता येतो. (येथे b बरोबर १ नाही.) x या संख्येचा b आधारांकी लॉगॅरिदम log_b(x) असा दर्शवला जातो, व तो y या अद्वितीय संख्येइतका असतो;

b^y = x.

उदाहरणार्थ, ६४ = २^६, म्हणून,

log_२(६४) = ६

म्हणजे ६४ चा २ आधारांकाचा लॉग (log) बरोबर ६.

लॉगॅरिदम वापरून बेरजेच्या क्रियेने गुणाकार कसे करता येतात?

१७ X २८=४७६ हा गुणाकार नेहमीच्या आकडेमोडीने करणे थोडेसे क्लिष्ट आहे. पण १७=१०^{१.२३०४४८९२} आणि २८=१०^{१.४४७१५८०३} हे माहीत असेल आणि १.२३०४४८९२ + १.४४७१५८०३ यांच्या बेरजेच्या २.६७७६०६९५ या अंकाने १०चा घात केला की १०^{२.६७७६०६९५}=४७५.९९९९९७ हेही माहीत असते. हे उत्तर जवळजवळ ४७६ या अपेक्षित उत्तराइतके आहे. लॉग१७=१.२३०४४८९२; लॉग२८=१.४४७१५८०३ आणि अँटिलॉग२.६७७६०६९५=४७५.९९९९९७. म्हणजे बेरजेची क्रिया करून गुणाकार करता आला. १७ आणि २८ अैवजी खूप मोठे आकडे असते तरीही लॉगरिदम वापरून गुणाकार सहजसाध्य झाला असता.

लॉगॅरिदममधील नियम

गुणाकाराचा लॉगॅरिदम म्हणजे गुणाकारातील संख्यांच्या लॉगॅरिदमची बेरीज; भागाकाराचा लॉगॅरिदम म्हणजे त्यातील संख्यांची वजाबाकी; एखाद्या संख्येच्या "प"-व्या घाताचा लॉग म्हणजे प गुणिले त्या संख्येचा लॉग आणि एखाद्या संख्येच्या "त"-व्या घातमुळाचा लॉग म्हणजे त्या संख्येचा लॉग भागिले "त".

	सूत्र	उदाहरण
गुणाकार	$\log _{b}(xy)=\log _{b}(x)+\log _{b}(y)$	$\log _{3}(243)=\log _{3}(9\cdot 27)=\log _{3}(9)+\log _{3}(27)=2+3=5$
भागाकार	$\log _{b}\!\left({\frac {x}{y}}\right)=\log _{b}(x)-\log _{b}(y)$	$\log _{2}(16)=\log _{2}\!\left({\frac {64}{4}}\right)=\log _{2}(64)-\log _{2}(4)=6-2=4$
घातांक	$\log _{b}(x^{p})=p\log _{b}(x)$	$\log _{2}(64)=\log _{2}(2^{6})=6\log _{2}(2)=6$
घातमूळ	$\log _{b}{\sqrt[{p}]{x}}={\frac {\log _{b}(x)}{p}}$	$\log _{10}{\sqrt {1000}}={\frac {1}{2}}\log _{10}1000={\frac {3}{2}}=1.5$