विकिपीडिया, मुक्‍त ज्ञानकोशातून
गणित आणि सिग्नल प्रोसेसिंगमध्ये, प्रगत z-ट्रान्सफॉर्म हे z- ट्रान्सफॉर्मचा विस्तार आहे, आदर्श विलंब समाविष्ट करण्यासाठी जे सॅम्पलिंग वेळेचे पटीत नाहीत. तो फॉर्म घेतो
F
(
z
,
m
)
=
∑
k
=
0
∞
f
(
k
T
+
m
)
z
−
k
{\displaystyle F(z,m)=\sum _{k=0}^{\infty }f(kT+m)z^{-k}}
कुठे
टी हा सॅम्पलिंग कालावधी आहेm ("विलंब पॅरामीटर") सॅम्पलिंग कालावधीचा एक अंश आहे
[
0
,
T
]
.
{\displaystyle [0,T].}
हे सुधारित z-ट्रान्सफॉर्म म्हणून देखील ओळखले जाते.
प्रगत z-ट्रान्सफॉर्म मोठ्या प्रमाणावर लागू केले जाते, उदाहरणार्थ डिजिटल नियंत्रणातील विलंब प्रक्रिया अचूकपणे मॉडेल करण्यासाठी.
जर विलंब पॅरामीटर, m , निश्चित मानले गेले तर झेड-ट्रान्सफॉर्मचे सर्व गुणधर्म प्रगत झेड-ट्रान्सफॉर्मसाठी धरून ठेवतात.
Z
{
∑
k
=
1
n
c
k
f
k
(
t
)
}
=
∑
k
=
1
n
c
k
F
k
(
z
,
m
)
.
{\displaystyle {\mathcal {Z}}\left\{\sum _{k=1}^{n}c_{k}f_{k}(t)\right\}=\sum _{k=1}^{n}c_{k}F_{k}(z,m).}
Z
{
u
(
t
−
n
T
)
f
(
t
−
n
T
)
}
=
z
−
n
F
(
z
,
m
)
.
{\displaystyle {\mathcal {Z}}\left\{u(t-nT)f(t-nT)\right\}=z^{-n}F(z,m).}
Z
{
f
(
t
)
e
−
a
t
}
=
e
−
a
m
F
(
e
a
T
z
,
m
)
.
{\displaystyle {\mathcal {Z}}\left\{f(t)e^{-a\,t}\right\}=e^{-a\,m}F(e^{a\,T}z,m).}
Z
{
t
y
f
(
t
)
}
=
(
−
T
z
d
d
z
+
m
)
y
F
(
z
,
m
)
.
{\displaystyle {\mathcal {Z}}\left\{t^{y}f(t)\right\}=\left(-Tz{\frac {d}{dz}}+m\right)^{y}F(z,m).}
lim
k
→
∞
f
(
k
T
+
m
)
=
lim
z
→
1
(
1
−
z
−
1
)
F
(
z
,
m
)
.
{\displaystyle \lim _{k\to \infty }f(kT+m)=\lim _{z\to 1}(1-z^{-1})F(z,m).}
खालील उदाहरणाचा विचार करा कुठे
f
(
t
)
=
cos
(
ω
t
)
{\displaystyle f(t)=\cos(\omega t)}
F
(
z
,
m
)
=
Z
{
cos
(
ω
(
k
T
+
m
)
)
}
=
Z
{
cos
(
ω
k
T
)
cos
(
ω
m
)
−
sin
(
ω
k
T
)
sin
(
ω
m
)
}
=
cos
(
ω
m
)
Z
{
cos
(
ω
k
T
)
}
−
sin
(
ω
m
)
Z
{
sin
(
ω
k
T
)
}
=
cos
(
ω
m
)
z
(
z
−
cos
(
ω
T
)
)
z
2
−
2
z
cos
(
ω
T
)
+
1
−
sin
(
ω
m
)
z
sin
(
ω
T
)
z
2
−
2
z
cos
(
ω
T
)
+
1
=
z
2
cos
(
ω
m
)
−
z
cos
(
ω
(
T
−
m
)
)
z
2
−
2
z
cos
(
ω
T
)
+
1
.
{\displaystyle {\begin{aligned}F(z,m)&={\mathcal {Z}}\left\{\cos \left(\omega \left(kT+m\right)\right)\right\}\\&={\mathcal {Z}}\left\{\cos(\omega kT)\cos(\omega m)-\sin(\omega kT)\sin(\omega m)\right\}\\&=\cos(\omega m){\mathcal {Z}}\left\{\cos(\omega kT)\right\}-\sin(\omega m){\mathcal {Z}}\left\{\sin(\omega kT)\right\}\\&=\cos(\omega m){\frac {z\left(z-\cos(\omega T)\right)}{z^{2}-2z\cos(\omega T)+1}}-\sin(\omega m){\frac {z\sin(\omega T)}{z^{2}-2z\cos(\omega T)+1}}\\&={\frac {z^{2}\cos(\omega m)-z\cos(\omega (T-m))}{z^{2}-2z\cos(\omega T)+1}}.\end{aligned}}}
तर
m
=
0
{\displaystyle m=0}
F
(
z
,
m
)
{\displaystyle F(z,m)}
F
(
z
,
0
)
=
z
2
−
z
cos
(
ω
T
)
z
2
−
2
z
cos
(
ω
T
)
+
1
,
{\displaystyle F(z,0)={\frac {z^{2}-z\cos(\omega T)}{z^{2}-2z\cos(\omega T)+1}},}
जे स्पष्टपणे फक्त झेड -परिवर्तन आहे
f
(
t
)
{\displaystyle f(t)}
इलियाहू इब्राहम ज्युरी, थिअरी अँड अॅप्लिकेशन ऑफ द z-ट्रान्सफॉर्म मेथड , क्रिगर पब को, 1973. . 
![{\displaystyle [0,T].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d49a2b0474d5ee6d0e1967879a5489d3978f828c)
