लॉगॅरिदम

गणितामध्ये लॉगॅरिदम (Logarithm) ही घातांकाच्या विरुद्ध क्रिया आहे. स्कॉटिश गणितज्ञ जॉन नेपियर यांनी सुचविलेल्या या युक्तीमुळे गुणाकार-भागाकार, वर्ग-घन करणे वर्गमूळ-घनमूळ काढणे आदी क्रिया सोप्या झाल्या. लॉगॅरिदममुळे गुणाकार आणि भागाकार यांसारख्या तुलनेने क्लिष्ट क्रियांना बेरीज आणि वजाबाकी यासारख्या सहज करता येण्यासारख्या गणिती क्रियांमध्ये बदलता येऊ शकते. एखाद्या संख्येचा लॉगॅरिदम म्हणजे शून्य किंवा एक हे अंक सोडून दुसऱ्या कोणत्याही आधारांकावर (बेस-bवर) कोणता घात-x चढवल्यावर ती संख्या मिळते तो अंक. उदाहरणार्थ, आधारांक १०चा तिसरा घात म्हणजे १००० (१०^३ = १० x १० x १० = १०००). म्हणून, १०००चा १० आधारांकी लॉगॅरिदम ३ आहे. घातांकीकरण (एक्सपोनेन्शिएशन) या क्रियेमध्ये कोणत्याही धन वास्तव संख्येचा वास्तव घात काढता येतो व तो नेहमी धन असतो, म्हणून b आणि x सारख्या कोणत्याही धन वास्तव संख्या वापरून लॉगॅरिदम काढता येतो. (येथे b बरोबर ० किंवा १ नाही.) x या संख्येचा b आधारांकी लॉगॅरिदम log_b(x) असा दर्शवला जातो, व तो y या एकमेवाद्वितीय संख्येइतका असतो;

b^y = x.

उदाहरणार्थ, ६४ = २^६, म्हणून,

log_२(६४) = ६

म्हणजे ६४चा २ आधारांकाचा लॉग (log) बरोबर ६.

लॉगॅरिदम वापरून बेरजेच्या क्रियेने गुणाकार कसे करता येतात?

१७ X २८=४७६ हा गुणाकार नेहमीच्या आकडेमोडीने करणे थोडेसे क्लिष्ट आहे. पण दशाधारित लॉगटेबलवरून १७=१०^{१.२३०४४८९२} आणि २८=१०^{१.४४७१५८०३} हे समजते. त्यामुळे १७ X २८= १०^{१.२३०४४८९२} X १०^{१.४४७१५८०३} = १०^{१.२३०४४८९२ + १.४४७१५८०३} = १०^{२.६७७६०६९५}. अँटिलॉग टेबलवरून १०^{२.६७७६०६९५}=४७५.९९९९९७ हेही समजते. त्यावरून १७ X २८=४७५.९९९९९७ हा निष्कर्ष मिळतो. हे उत्तर जवळजवळ ४७६ या अपेक्षित उत्तराइतके आहे.

थोडक्यात, लॉग१७=१.२३०४४८९२; लॉग२८=१.४४७१५८०३ आणि अँटिलॉग२.६७७६०६९५=४७५.९९९९९७. म्हणजे बेरजेची क्रिया करून गुणाकार करता आला. १७ आणि २८ अैवजी खूप मोठे अगडबंब आकडे असते तरीही या रीतीने लॉगरिदम वापरून गुणाकार सहजसाध्य झाला असता.

लॉगॅरिदममधील नियम

गुणाकाराचा लॉगॅरिदम म्हणजे गुणाकारातील संख्यांच्या लॉगॅरिदमची बेरीज; भागाकाराचा लॉगॅरिदम म्हणजे त्यातील संख्यांची वजाबाकी; एखाद्या संख्येच्या "प"-व्या घाताचा लॉग म्हणजे प गुणिले त्या संख्येचा लॉग आणि एखाद्या संख्येच्या "त"-व्या घातमुळाचा लॉग म्हणजे त्या संख्येचा लॉग भागिले "त".

	सूत्र	उदाहरण
गुणाकार	$\log _{b}(xy)=\log _{b}(x)+\log _{b}(y)$	$\log _{3}(243)=\log _{3}(9\cdot 27)=\log _{3}(9)+\log _{3}(27)=2+3=5$
भागाकार	$\log _{b}\!\left({\frac {x}{y}}\right)=\log _{b}(x)-\log _{b}(y)$	$\log _{2}(16)=\log _{2}\!\left({\frac {64}{4}}\right)=\log _{2}(64)-\log _{2}(4)=6-2=4$
घातांक	$\log _{b}(x^{p})=p\log _{b}(x)$	$\log _{2}(64)=\log _{2}(2^{6})=6\log _{2}(2)=6$
घातमूळ	$\log _{b}{\sqrt[{p}]{x}}={\frac {\log _{b}(x)}{p}}$	$\log _{10}{\sqrt {1000}}={\frac {1}{2}}\log _{10}1000={\frac {3}{2}}=1.5$