प्रगत झेड-परिवर्तन

गणित आणि सिग्नल प्रोसेसिंगमध्ये, प्रगत z-ट्रान्सफॉर्म हे z- ट्रान्सफॉर्मचा विस्तार आहे, आदर्श विलंब समाविष्ट करण्यासाठी जे सॅम्पलिंग वेळेचे पटीत नाहीत. तो फॉर्म घेतो

$F(z,m)=\sum _{k=0}^{\infty }f(kT+m)z^{-k}$

कुठे

• टी हा सॅम्पलिंग कालावधी आहे
• m ("विलंब पॅरामीटर") सॅम्पलिंग कालावधीचा एक अंश आहे $[0,T].$

हे सुधारित z-ट्रान्सफॉर्म म्हणून देखील ओळखले जाते.

प्रगत z-ट्रान्सफॉर्म मोठ्या प्रमाणावर लागू केले जाते, उदाहरणार्थ डिजिटल नियंत्रणातील विलंब प्रक्रिया अचूकपणे मॉडेल करण्यासाठी.

गुणधर्म

जर विलंब पॅरामीटर, m, निश्चित मानले गेले तर झेड-ट्रान्सफॉर्मचे सर्व गुणधर्म प्रगत झेड-ट्रान्सफॉर्मसाठी धरून ठेवतात.

रेखीयता

${\mathcal {Z}}\left\{\sum _{k=1}^{n}c_{k}f_{k}(t)\right\}=\sum _{k=1}^{n}c_{k}F_{k}(z,m).$

वेळ शिफ्ट

${\mathcal {Z}}\left\{u(t-nT)f(t-nT)\right\}=z^{-n}F(z,m).$

ओलसर

${\mathcal {Z}}\left\{f(t)e^{-a\,t}\right\}=e^{-a\,m}F(e^{a\,T}z,m).$

वेळ गुणाकार

${\mathcal {Z}}\left\{t^{y}f(t)\right\}=\left(-Tz{\frac {d}{dz}}+m\right)^{y}F(z,m).$

अंतिम मूल्य प्रमेय

$\lim _{k\to \infty }f(kT+m)=\lim _{z\to 1}(1-z^{-1})F(z,m).$

उदाहरण

खालील उदाहरणाचा विचार करा कुठे $f(t)=\cos(\omega t)$ :

${\begin{aligned}F(z,m)&={\mathcal {Z}}\left\{\cos \left(\omega \left(kT+m\right)\right)\right\}\\&={\mathcal {Z}}\left\{\cos(\omega kT)\cos(\omega m)-\sin(\omega kT)\sin(\omega m)\right\}\\&=\cos(\omega m){\mathcal {Z}}\left\{\cos(\omega kT)\right\}-\sin(\omega m){\mathcal {Z}}\left\{\sin(\omega kT)\right\}\\&=\cos(\omega m){\frac {z\left(z-\cos(\omega T)\right)}{z^{2}-2z\cos(\omega T)+1}}-\sin(\omega m){\frac {z\sin(\omega T)}{z^{2}-2z\cos(\omega T)+1}}\\&={\frac {z^{2}\cos(\omega m)-z\cos(\omega (T-m))}{z^{2}-2z\cos(\omega T)+1}}.\end{aligned}}$

तर $m=0$ नंतर $F(z,m)$ रूपांतर करण्यासाठी कमी करते

$F(z,0)={\frac {z^{2}-z\cos(\omega T)}{z^{2}-2z\cos(\omega T)+1}},$

जे स्पष्टपणे फक्त झेड -परिवर्तन आहे $f(t)$ .

संदर्भ

• इलियाहू इब्राहम ज्युरी, थिअरी अँड अॅप्लिकेशन ऑफ द z-ट्रान्सफॉर्म मेथड, क्रिगर पब को, 1973. .