गाठ सिद्धान्त

गाठ सिद्धांत ही गणितातील स्थानविद्या या शाखेची उपशाखा आहे. यांत प्रामुख्याने गणिती गाठींचा अभ्यास केला जातो. त्रिमितीय युक्लिडीय अवकाश(R³)

यांत वर्तुळ समाविष्ट केल्यास गणिती गाठ तयार होते. आपण एखाद्या दोरीची दोन टोके घेऊन त्या सुटू नयेत म्हणून जशा एकत्र बांधतो, तसाच काहीसा हा प्रकार आहे. एखादी गणिती गाठीत जर सतत बदल करून दुसऱ्या गाठीच्या रूपात करता आली तर त्या दोन्ही गाठी गणितीदृष्ट्या समकक्ष आहेत असे मानतात. सोप्या भाषेत हे रूपांतर मूळ दोरी न कापता किंवा स्वतःतूनच न ओवता करण्यासारखे असावे लागते.

गाठींचे विविध रीतींने वर्णने केले जाऊ शकते. परंतु, सामान्यतः यासाठी प्रतलीय आकृत्या वापरतात. वर्णनाची एक पद्धत दिल्यास, त्याच गाठीसाठी, वर्णनाच्या अनेक पद्धती म्हणजेच आकृत्या असू शकतात. कुठल्याही दोन गाठी समकक्ष आहेत का नाही हे ओळखणे ही गाठ सिद्धांतातील प्रमुख समस्या मानली जाते. गाठ स्थिरक हा संख्यात्म वापरून गाठी वेगवेगळ्या आहेत हे ओळखता येते. गाठ स्थिरक हा कुठल्याही विशिष्ट गाठीच्या विविध वर्णनपद्धतींतही बदलत नाही.

गाठींची संकल्पना ही उच्च मितींनाही लावण्यात आली आहे. या कामात न-मितीय युक्लिडीय अवकाशात बहुमितीय गोलांचा विचार करण्यात आला आहे. हा विषय इसवी सन १९६० ते १९८० खूप अभ्यासला गेला आणि या काळात या संदर्भात महत्त्वाचे शोध लागलेत. हल्लीच्या काळात कमी मितींच्या समस्यांकडे अधिक लक्ष दिले जात आहे.

गाठ तक्ते आणि गाठींच्या समाकार तक्तीकरणाने गाठ सिद्धांतात संशोधन सुरू झाले. तक्तीकरण हे महत्त्वाचे काम असले तरी, हल्लीच्या संशोधनास नानाविध ध्येये आणि पार्श्वभूमी आहे. गाठ गट आणि एकतानी सिद्धांतातील स्थिरक यांचा अभिजात गाठ सिद्धांतात प्रामुख्याने अभ्यास केला जातो.

.