काल्पनिक संख्या

काल्पनिक संख्या एक संख्या आहे ज्यामध्ये एका वास्तविक संख्येला काल्पनिक एकक i ने गुणले जाते. i ची व्याख्या i^२ = −१ अशी केली जाते. काल्पनिक संख्येचा वर्ग शून्य किंवा ऋण असतो. उदाहरणार्थ ५i ही एक काल्पनिक संख्या आहे जिचा वर्ग −२५ आहे. शून्याला वास्तविक आणि काल्पनिक दोन्ही समजले जाते.

या संकल्पनेचा उगम १७व्या शतकामध्ये झाला. त्यावेळी याला बिनकामाची संकल्पना समजले जात होते. परंतू लिओनार्ड ऑयलर आणि कार्ल फ्रीदरिश गाउस यांच्या कामानंतर याला मोठ्या प्रमाणात मान्यता मिळाली.

काल्पनिक संख्या bi वास्तविक संख्या a शी जोडल्याने a + bi ही एक संमिश्र संख्या मिळते. यामध्ये वास्तविक संख्या a आणि b यांना अनुक्रमे वास्तविक भाग आणि काल्पनिक भाग म्हटले जाते.

भूमितीय अर्थ

काल्पनिक संख्या भूमितीमध्ये संमिश्र संख्यांच्या प्रतलावर य (उभ्या) अक्षावर दर्शवल्या जातात.

ऋण संख्यांचे वर्गमूळ

ऋण संख्यांचे वर्गमूळ असणाऱ्या काल्पनिक संख्यांवर गणिती प्रक्रिया करताना काळजी घेणे गरजेचे आहे. उदाहरणार्थ,

$6={\sqrt {36}}={\sqrt {(-4)(-9)}}\neq {\sqrt {-4}}{\sqrt {-9}}=(2i)(3i)=6i^{2}=-6.$

कधीकधी याला असेही लिहीतात:

$-1=i^{2}={\sqrt {-1}}{\sqrt {-1}}{\stackrel {\text{ (fallacy) }}{=}}{\sqrt {(-1)(-1)}}={\sqrt {1}}=1,$

इथे तर्कदोष असा आहे की ${\sqrt {xy}}={\sqrt {x}}{\sqrt {y}}$ हा नियम लागू होत नाही. याठिकाणी x आणि y पैकी कमीत कमी एक संख्या धन असणे गरजेचे आहे.