सामान्य मर्यादांचे तक्ते

हे सामान्य फलांच्या मर्यादांची यादी आहे. हे लक्षात घ्या की a आणि b हे "x" सापेक्ष स्थिरांक आहेत

सामान्य फलांसाठीच्या मर्यादा

जर$\lim _{x\to c}f(x)=L_{1}$ आणि $\lim _{x\to c}g(x)=L_{2}$ तर:

$\lim _{x\to c}\,[f(x)\pm g(x)]=L_{1}\pm L_{2}$

$\lim _{x\to c}\,[f(x)g(x)]=L_{1}\times L_{2}$

$\lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {L_{1}}{L_{2}}}\qquad$ जर $L_{2}\neq 0$

$\lim _{x\to c}\,f(x)^{n}=L_{1}^{n}\qquad$ जर $n$ हा धन पूर्णांक असेल

$\lim _{x\to c}\,f(x)^{1 \over n}=L_{1}^{1 \over n}\qquad$ जर $n$ हा धन पूर्णांक असेल आणि जर $n$ हा सम असेल $L_{1}>0$

$\lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}\qquad$ जर $\lim _{x\to c}f(x)=\lim _{x\to c}g(x)=0$ किंवा $\lim _{x\to c}|g(x)|=+\infty$ (एल’हॉस्पितलचा नियम)

सामान्य फलांच्या मर्यादा

$\lim _{h\to 0}{f(x+h)-f(x) \over h}=f'(x)$

$\lim _{h\to 0}\left({\frac {f(x+h)}{f(x)}}\right)^{\frac {1}{h}}=\exp \left({\frac {f'(x)}{f(x)}}\right)$

$\lim _{h\to 0}{\left({f(x(1+h)) \over {f(x)}}\right)^{1 \over {h}}}=\exp \left({\frac {xf'(x)}{f(x)}}\right)$

उल्लेखनीय विशेष मर्यादा

$\lim _{x\to +\infty }\left(1+{\frac {k}{x}}\right)^{mx}=e^{mk}$

$\lim _{x\to +\infty }\left(1-{\frac {1}{x}}\right)^{x}={\frac {1}{e}}$

$\lim _{x\to +\infty }\left(1+{\frac {k}{x}}\right)^{x}=e^{k}$

$\lim _{n\to \infty }{\frac {n}{\sqrt[{n}]{n!}}}=e$

$\lim _{n\to \infty }\,2^{n}\underbrace {\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\text{...}}+{\sqrt {2}}}}}}}} _{n}=\pi$

साधे फल

$\lim _{x\to c}a=a$

$\lim _{x\to c}x=c$

$\lim _{x\to c}ax+b=ac+b$

$\lim _{x\to c}x^{r}=c^{r}\qquad$ जर $r$ हा धन पूर्णांक असेल

$\lim _{x\to 0^{+}}{\frac {1}{x^{r}}}=+\infty$

$\lim _{x\to 0^{-}}{\frac {1}{x^{r}}}=$जर $r$ हा विषम असेल तर$-\infty ,$आणि जर $r$ हा सम असेल तर$+\infty ,$

शब्दांकी आणि घातांकी फल

$\ a>1$असेल, तर$:\,$

$\lim _{x\to 0^{+}}\log _{a}x=-\infty$

$\lim _{x\to \infty }\log _{a}x=\infty$

$\lim _{x\to -\infty }a^{x}=0$

जर $a<1:\,$

$\lim _{x\to -\infty }a^{x}=\infty$

त्रिकोणमितीय फल

$\lim _{x\to a}\sin x=\sin a$

$\lim _{x\to a}\cos x=\cos a$

$\lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}=1$

$\lim _{x\to 0}{\frac {1-\cos x}{x}}=0$

$\lim _{x\to 0}{\frac {1-\cos x}{x^{2}}}={\frac {1}{2}}$

$\lim _{x\to n^{\pm }}\tan \left(\pi x+{\frac {\pi }{2}}\right)=\mp \infty \qquad$ कुठलाही पूर्णांक $n$ साठी

अनंताजवळ

$\lim _{x\to \infty }N/x=0$ कुठल्याही वास्तव N करता

$\lim _{x\to \infty }x/N=\infty ,$जर$N>0$अस्तित्वात नाही$,-\infty ,$जर$N<0$

$\lim _{x\to \infty }x^{N}={\begin{cases}\infty ,&N>0\\1,&N=0\\0,&N<0\end{cases}}$

$\lim _{x\to \infty }N^{x}={\begin{cases}\infty ,&N>1\\1,&N=1\\0,&-1<N<1\end{cases}}$

$\lim _{x\to \infty }N^{-x}=\lim _{x\to \infty }1/N^{x}=0$ कुठल्याही N > 1 करता

$\lim _{x\to \infty }{\sqrt[{x}]{N}}=1,$जर N > 0 आणि 0, जर N = 0 अस्तित्वात नाही, जर N < 0

$\lim _{x\to \infty }{\sqrt[{N}]{x}}=\infty$ कुठल्याही N > 0 करता

$\lim _{x\to \infty }\log x=\infty$

$\lim _{x\to 0^{+}}\log x=-\infty$